Divisão de Polinômios

Determine o resto da divisão de um polinômio A(x) por B(x)= x²+1, conhecendo-se A(i) e A(-i), onde i é a unidade imaginária.


Pessoal, começei fazendo assim, mas ao desenrolar do exercício me perdi, irei expor minhas ideias.

x²+1 = x²-i² = (x-i)(x+i)
A(x)= (x²+1) Q(x)    = A(i)=0
A(x)= (x²+1) Q(x)    = A(-i)=0

Como queremos descobrir o r(x), chamaremos de ax+b

A(x) = (x-i)(x+i).Q(x) + ax+b
A(i)= (i-i).(i+i).Q(i)+ai+b
A(i)= ai+b

Analogamente para a segunda raíz encontrada:
A(x) = (x-i)(x+i).Q(x) + ax+b
A(-i)= (-i-i)(-i+i).Q(-i) -ai+b
A(-i)= -a+b

ai+b=0
-ai+b=0
Assim, a=0 e b=0.

Não sei onde esta meu erro.


Gabarito oficial é: r(x)= i.A(-i)-A(i)x/2 +A(i)+A(-i)/2

Você não poderia igualar a zero, já que, pelas informações, i e -i não são raízes.

Resolva o sistema abaixo e encontrará a solução.

 a.i + b = A(i)
-a.i + b = A(-i)

evandronunes escreveu:Você não poderia igualar a zero, já que, pelas informações, i e -i não são raízes.

Resolva o sistema abaixo e encontrará a solução.

 a.i + b = A(i)
-a.i + b = A(-i)

Mas A(i) e A(-i) não é zero?

Como eu escrevi, não há nada que garante na questão que A(i) = A(-i) = 0.

Você poderia pelo trecho "conhecendo-se A(i) e A(-i)" deduzir que A(i) = k e A(-i) = p, montaria e resolveria o sistema e, no final, trocaria os valores de k e p, por A(i) e A(-i), respectivamente.

evandronunes escreveu:Como eu escrevi, não há nada que garante na questão que A(i) = A(-i) = 0.

Você poderia pelo trecho "conhecendo-se A(i) e A(-i)" deduzir que A(i) = k e A(-i) = p, montaria e resolveria o sistema e, no final, trocaria os valores de k e p, por A(i) e A(-i), respectivamente.

Obrigado mestre