Produto

por FlavioMachado Dom 12 Nov 2017, 07:21

Para todo número natural "n" o produto: (4-2/1)(4-2/2)(4-2/3)...(4-2/n)
a)É sempre um inteiro par
b)Algumas vezes é um inteiro ímpar, outras vezes não
c)Algumas vezes é racional, outras vezes não
d)É sempre um inteiro ímpar
e)É sempre irracional

por **fantecele** Seg 13 Nov 2017, 22:15

$\\\left ( 4-\frac{2}{1} \right )\left ( 4-\frac{2}{2} \right )\left ( 4-\frac{2}{3} \right )...\left ( 4-\frac{2}{n} \right )\\\\2.2.2...2.\left ( 2-\frac{1}{1} \right )\left ( 2-\frac{1}{2} \right )\left ( 2-\frac{1}{3} \right )...\left ( 2-\frac{1}{n} \right )\\\\2^n.\left ( 2-\frac{1}{1} \right )\left ( 2-\frac{1}{2} \right )\left ( 2-\frac{1}{3} \right )...\left ( 2-\frac{1}{n} \right )\\\\2^n.\left ( \frac{1}{1} \right )\left ( \frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{3} \right )...\left ( \frac{2n-1}{n} \right )\\\\2^n.\frac{(2n)!}{n!}.\left (\frac{1}{2.4.6...2n} \right )\\\\2^n.\frac{(2n)!}{n!}.\frac{1}{2^n}.\frac{1}{1.2.3...n}$
$\\\\\frac{(2n)!}{n!.n!}\\\\\binom{2n}{n}$

Aqui você percebe que temos um número binomial, olhando para o triângulo de pascal fica fácil perceber que ele será inteiro e par.

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