prove que sen 105 = sen 75

por MakiseKurisu Qua 15 Mar 2017, 13:16

Estava resolvendo um exercício de lei dos senos:
Dado sen75=(raiz quadrada de 2 + raiz quadrada de 6)/4, determine x e y na figura abaixo.
triângulo acutangulo XYZ -> XY (Lado menor)= 6cm; XZ (lado médio)= y e YZ (lado maior)= x. XY= Cateto oposto do ângulo Z(30graus); XZ= Cateto oposto do ângulo Y (45 graus).
Me deparei com a resposta do livro para utilizar do sen75 assim:

sen 105= sen (180-105)= sen 75
como pode x=y?
não seria sen 105= sen(180-75)?
enfim, de qualquer forma o exercício dava o sen 75, e precisava chegar a ele dessa maneira. Mas n entra na minha cabeça, alguém pode explicar?

por **Euclides** Qua 15 Mar 2017, 16:45

por MakiseKurisu Qui 16 Mar 2017, 00:08

Poderia me explicar como chegou no terceiro passo?

por **Euclides** Qui 16 Mar 2017, 00:22

MakiseKurisu escreveu:Poderia me explicar como chegou no terceiro passo?

Uma igualdade trigonométrica que deve ser necessariamente conhecida:

$\sin(a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$

por **Forken** Qui 16 Mar 2017, 01:59

Eu não sei afirmar se por redução ao primeiro quadrante dá pra provar, mas iria tirar a sua dúvida.

por **Elcioschin** Qui 16 Mar 2017, 11:47

Uma definição permanente, para não mais ser esquecida:

Se dois ângulos são suplementares seus senos são iguais:

Se α + β = 180º ---> senα = senβ

Prova ---> α = 180º - β ---> senα = sen(180º - β) --->

senα = sen180º.senβ - senβ.cos180º ---> senα = 0.senβ - senβ.(-1) --->

senα = senβ

Nesta questão ---> 75º + 105º = 180º