Questão Juros Porcentagem e Tempo Para Compra

195-(FGV-2006) João investiu R$10000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de comprar um automóvel cujo preço atual é R$30000,00. que é desvalorizado à taxa de juro de 10% ao ano. Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido?

Gabarito 4 Anos

ismael1008,3 escreveu:195-(FGV-2006) João investiu R$10000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de comprar um automóvel cujo preço atual é R$30000,00. que é desvalorizado à taxa de juro de 10% ao ano. Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido?

Gabarito 4 Anos

Boa noite, Ismael.

M = montante da aplicação de João
V = valor desvalorizado do veículo conforme os anos vão se passando

M = C(1+i)ⁿ
M = 10000(1+0,20)ⁿ
M = 10000(1,2)ⁿ

V = 30000(1–0,1)ⁿ

Igualando-se as fórmulas (M=V), fica:
10000(1,2)ⁿ = 30000(0,9)ⁿ

Dividindo tudo por 10000, vem:
(1,2)ⁿ = 3(0,9)ⁿ

(1,2)ⁿ/(0,9)ⁿ = 3

[(1,2)/(0,9)]ⁿ = 3

1,2/0,9 = 12/9 = 4/3; portanto fica:

(4/3)ⁿ = 3

Passando para logaritmos:
n * log(4/3) = log(3)
n * log(2²/3) = log(3)

n = log(3) / [log(2²) - log(3)]

Fazendo log(3) = 0,48 e log(2) = 0,30, tem-se:
n = 0,48 / (2*0,30 - 0,48)
n = 0,48 / (0,60 - 0,48)
n = 0,48 / 0,12
n = 4 anos


Um abraço.