MCU - UNIFICADO

por vickybelikov Sáb 02 Abr 2016, 13:51

Em um toca-fitas, a fita cassete passa em frente da cabeça de leitura C com uma velocidade constante de v= 4,8 cm/s. O raio do núcleo dos carretéis vale 1 cm. Com a fita totalmente enrolada num dos carretéis, o raio externo do conjunto fita-carretel vale 2,5 cm. Quando o raio externo do conjunto fita-carretel no carretel A valer 1,5 cm, o do carretel B valerá, aproximadamente:
R.: 2,2 cm

por **Christian M. Martins** Sáb 02 Abr 2016, 18:04

Só consegui resolver com o uso de Cálculo. O somatório das circunferências contidas entre o raio interno e o raio externo dos conjuntos fita-carretéis é igual ao comprimento da fita. Assim, obtendo uma equação geral para qualquer raio interno x e raio externo y, de forma a facilitar futuros cálculos:

$\int_{x}^{y}2\pi R = \left [\frac{2\pi R^{1 + 1}}{1 + 1} \right ]_{x}^{y} = \left [\pi R^{2} \right ]_{x}^{y} = \pi y^{2} - \pi x^{2} = \pi (y^{2} - x^{2})$

O somatório das circunferências de 1 cm a 2,5 cm (do raio interno ao raio externo do conjunto fita-carretel quando a fita se encontra totalmente enrolada em algum dos carretéis) deve ser igual ao somatório das circunferências de 1 cm a 1,5 cm (do raio interno ao raio externo do conjunto fita-carretel no carretel A) somado ao somatório das circunferências do conjunto fita-carretel no carretel B — ou seja, o comprimento da fita precisa ser o mesmo nos dois casos. Assim, sendo z o raio externo do conjunto fita-carretel no carretel B:

$\\\int_{1}^{2,5} 2\pi R = \int_{1}^{1,5}2\pi R + \int_{1}^{z}2\pi R \rightarrow \int_{1}^{z}2\pi R = \int_{1}^{2,5} 2\pi R - \int_{1}^{1,5}2\pi R\\ \\ \\ \pi(z^{2} - 1^{2}) = \pi (2,5^{2} - 1^{2}) - \pi (1,5^{2} - 1^{2})\rightarrow z = \sqrt{2,5^{2} - 1^{2} - 1,5^{2} + 1^{2} +1^{2}} =\; \; \; \; \; = \sqrt{5} \approx 2,23 \; \; cm$