Função Quadrática (Domínio)

Determine m para que o domínio da função definida por:
              f(x) = (x² + mx + 1) −½
seja o conjunto dos números reais.


Resposta: -2 < m < 2

delta < 0 ---> m² - 4 < 0 ---> |m| < 2

Ashitaka escreveu:delta < 0 ---> m² - 4 < 0 ---> |m| < 2

Por que delta < 0 ?

Porque ele quer que o domínio da função seja os reais. Logo, o denominador deve ser sempre maior que zero para todo real. Isso ocorre para delta < 0, neste caso.

Acho que entendi...

Então temos uma função f(x)₂ dentro de outra função f(x)₁:

          f(x)₁ = (x² + mx + 1)ˉ½ <==>
<==> f(x)₁ = √(x² +mx + 1)ˉ¹ <==>
<==> f(x)₁ = √(1/x² +mx + 1) <==>
<==> f(x)₁ = √[1/ f(x)₂ ]

Para que o domínio de f(x)₁ seja o conjunto dos números reais, devemos ter  x² +mx + 1 > 0, ou seja, f(x)₂ > 0. (não existe raiz de numero negativo nem numero que possa ser divido por zero!). E, para que f(x)₂ > 0  devemos ter que o determinante de f(x)₂ seja ∆<0.

Isso porque  f(x) = y = 0  somente nos pontos em que a parábola toca o eixo Ox.
Lembrando que:
#Para ∆>0 a parábola encontra o eixo Ox em dois pontos distintos.
# ∆=0 : a parábola encontra o eixo Ox em um único ponto.
# ∆<0 : a parábola NÃO encontra o eixo Ox.

Logo o único caso em que f(x)>0 ou f(x)<0 é quando ∆ < 0.
Como queremos f(x)₂>0, temos:
∆ < 0 <==> m² - 4 <0 <==> m² <4  <==> |m| < 2  <==>
<==>  -2 < m < 2

E, como o coeficiente (x²) > 0 (constante), a função tem imagem positiva (concavidade voltada para cima, e, como visto acima, não encontra Ox). Logo os valores de m para que o domínio de f(x)₁ seja o conjunto dos reais são:
                           -2 < m < 2

Portanto, nesse exercício encontramos o valor m de uma função (f(x)₂) , cujo coeficiente a>0(constante) e ∆<0, ou seja, encontramos o valor m de f(x)₂ > 0.
Logo, para todo  -2 < m < 2 ,  f(x)₂ > 0.  O que satisfaz f(x)₁ com domínio conjunto dos reais.

Se estiver errado por favor me corrijam!