Altura da torre

Considere um ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100m, como mostra a figura abaixo:


A altura da torre, em metros, equivale a:

Resposta:
96 m

Observe a figura:



Olá Balanar,
Podemos perceber que os ângulos serão iguais pois:

No triângulo 1:

x + (180 - 2x) + z = 180
- x + z = 0
x = z


Assim, constatamos que se trata de um triângulo isósceles, fazendo o mesmo nos triângulo 2 e 3, poderemos perceber a mesma relação.


Minha ideia foi a seguinte:

Sabemos todos os lados do triângulo 2, então, fica muito fácil usar a lei dos cossenos:

100² = 100² + 160² - 2*100*160*cos 2x
(Resolvendo iremos encontrar)
cos 2x = 4/5

Usando as relações trigonométricas, ou se já souber de cabeça, podemos colocar também que:

Se cos 2x = 4/5, então, sen 2x = 3/5

(sen ² a + cos ² a = 1)


Temos duas informações IMPORTANTÍSSIMAS. Observe:

cos 2x = cos²x - sen²x
sen 2x = 2*senx*cos x


Usando agora o triângulo retângulo (2 + 3), podemos fazer que:

cos 2x = (100 + 100*cos 4x)/160
(Agora é só resolver essa equação com o valor do cos 2x)
Acharemos:
cos 4x = 7/25


Agora ficou fácil. Usando o triângulo 3:

cos 4x = a/100

(Escrevi como a o valor do lado 100*cos 4x, resolvendo iremos encontrar a)

a = 28 metros


Agora a parte mais simples do problema, o teorema de pitágoras no triângulo 3:

100² = 28² + H²
H = 96 metros

Qualquer dúvida só avisar !
Abraço.

luiseduardo escreveu:Observe a figura:



Olá Balanar,
Podemos perceber que os ângulos serão iguais pois:

No triângulo 1:

x + (180 - 2x) + z = 180
- x + z = 0
x = z


Assim, constatamos que se trata de um triângulo isósceles, fazendo o mesmo nos triângulo 2 e 3, poderemos perceber a mesma relação.


Minha ideia foi a seguinte:

Sabemos todos os lados do triângulo 2, então, fica muito fácil usar a lei dos cossenos:

100² = 100² + 160² - 2*100*160*cos 2x
(Resolvendo iremos encontrar)
cos 2x = 4/5

Usando as relações trigonométricas, ou se já souber de cabeça, podemos colocar também que:

Se cos 2x = 4/5, então, sen 2x = 3/5

(sen ² a + cos ² a = 1)


Temos duas informações IMPORTANTÍSSIMAS. Observe:

cos 2x = cos²x - sen²x
sen 2x = 2*senx*cos x


Usando agora o triângulo retângulo (2 + 3), podemos fazer que:

cos 2x = (100 + 100*cos 4x)/160
(Agora é só resolver essa equação com o valor do cos 2x)
Acharemos:
cos 4x = 7/25


Agora ficou fácil. Usando o triângulo 3:

cos 4x = a/100

(Escrevi como a o valor do lado 100*cos 4x, resolvendo iremos encontrar a)

a = 28 metros


Agora a parte mais simples do problema, o teorema de pitágoras no triângulo 3:

100² = 28² + H²
H = 96 metros

Qualquer dúvida só avisar !
Abraço.

Brilhante solução luiseduardo.

Show de bola!!!

Hoje na prova do ENEM de matemática caiu uma questão similar, apesar de estar mais simples.

Tem algum jeito de fazer que não seja pela lei do senos/cossenos?

Parabéns luiseduardo, solução perfeita e a explicação tambem!!!

muito bom!

vaaaleu luis

Obrigado pela resolução.

Bem ali no final, eu poderia aplicar sen(2x) = h/160?