Gases + MHS

por lucasgaspar Seg 03 Ago 2015, 22:56

Um cilindro adiabático, que contém um gás ideal, está dividido em duas partes iguais por um êmbolo de massa m. Comunica-se ao êmbolo um pequeno deslocamento que passa a oscilar harmonicamente.
Gases + MHS ?ui=2&ik=db3a51613b&view=fimg&th=14ef658aa0d5b3d3&attid=0

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Sendo Po a pressão inicial do gás e que todo processo ocorra isotermicamente, o período destas oscilações será:

$Gases + MHS Gif.latex?a%29%5Cpi%20%5Csqrt%5Cfrac%7Bm.A%7D%7BPo.L%5E2%7D%5C%5C%20b%292%5Cpi%20%5Csqrt%5Cfrac%7Bm.L%7D%7B2Po.A%7D%5C%5C%20c%29%5Cpi%20%5Csqrt%5Cfrac%7BmL%7D%7B2Po.A%7D%5C%5C%20d%29%5Csqrt%5Cfrac%7Bm.A%7D%7BPoL%5E2%7D%5C%5C%20e%292%5Cpi%5Csqrt%5Cfrac%7Bm$

Gab: B

por **Carl Sagan** Ter 11 Ago 2015, 00:35

Está faltando a figura.

Assumindo que A seja a área do êmbolo e L o comprimento do cilindro.

Da transformação isotérmica, Temos que:

$p_{0}V_{0}=\mathrr{\bold{cte}}\\$

Derivando:

$\\ dpV+pdV=0 \Rightarrow dp=-\frac{p}{V}dV\\ dp=-\frac{p}{V}(A\cdot x)\\$

A variação de pressão é a mesma nos dois compartimentos, então:

$F=2 \cdot dp \cdot A=-\frac{2pA^{2}}{V}x\\$

Logo:

$a=-\frac{2pA^{2}}{mV}x\\$

Mas, o volume V é dado por:

$V=A \cdot L$

Então:

$a=-\frac{2pA}{mL}x\\$

Comparando com a aceleração no MHS e encontrando o período deste movimento, vem:

$\\ a=-\omega^{2}x\\ \\ \omega=\sqrt{\frac{2pA}{mL}} \Leftrightarrow T=\frac{2 \pi}{\omega}\\$

$\therefore \ \ \boxed{\boxed{T=2 \pi \sqrt{\frac{mL}{2P_{0}A}}}}$

por Gabriel12354 Sex 21 Ago 2015, 11:56

Suponha um deslocamento X tal que X<< P=P0.L/(L+x). Isto na parte em que o volume aumenta. E analogamente temos P'=P0.L/(L-X) na parte em que o volume diminui. Basta agora ver que a força restauradora do MHS será: Fres=P'.A-PA => Fres=(2P0.A/L).x=K.x = > K=2P0A/L. Sabe-se ainda que T=2.pi.sqrt(m/k). Ao substituir, chega-se na resposta.

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