Morgado- análise combinatória

por Jeni Qua 15 Jul - 8:45

O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas são as funções f: A → B? Quantas são as funções injetoras f: A →B?

Não tem gabarito Shocked

por **Jader** Qua 15 Jul - 10:52

Para f:A→B seja uma função, então temos que todos os elementos de A tenha uma imagem em B, assim teremos o seguinte:

Se o conjunto A possui 4 elementos, então cada elemento tem que possuir um único elemento na imagem, assim para o 1º elemento temos 7 possibilidades para escolher sua imagem, para o 2º elemento também terá 7 possibilidades para escolher sua imagem e o mesmo para os outros dois elementos restantes de A. Portanto, temos que a quantidade de funções possíveis serão 7.7.7.7 = 2401 funções.

Agora para que a função f:A→B seja injetora temos que ter a condição de que no conjunto imagem o elemento escolhido tenha um único correspondente no domínio, ou seja, não pode existir dois elementos no domínio com a mesma imagem. Assim teremos que, para o 1º elemento temos 7 possibilidades para determinar sua imagem. Agora para o 2º elemento já teremos 6 possibilidades para determinar seu elemento na imagem, pois 1 elemento já é imagem do 1º elemento de A, e assim por diante.

Logo o número de funções injetivas serão 7.6.5.4=840 funções.

por Jeni Qua 15 Jul - 11:03

Muito obrigada, sucesso na tua vida. Very Happy

por GGMTM Qua 10 Nov - 8:21

por Hetan Atlon Sex 8 Mar - 12:11

[ltr]Crédito Professor Morgado, Exercício 6, Pag. 23 - Combinações e Permutações [/ltr]
[ltr]a) quantas são as funções de A para B? [/ltr]
[ltr]b) quantas são as funções de A injetora B? [/ltr]
[ltr]c) quantas são as funções de A Binjetora B? [/ltr]
[ltr]a) quantas são as funções de A para B? Resposta: 2401 ->  [/ltr]
[ltr]a) Função os elementos de A (domínio) podem se ligar a 1 ou mais elementos de B (contra-domínio). Aproveitando, embora não seja o caso da questão, quando vários elementos do contra-dominío (B) se ligam um único elemento do domínio, isso NÃO é função - (Não é função marido fiel) [/ltr]
[ltr]f(a ->b) = b^a; f(a->b)=7^4 -> f(a->b)=2401. Trata-se de uma permutação com repetição.  [/ltr]
[ltr]Considere o contradomínio como uma função que se admite ‘esposas infiéis, com vários maridos’. [/ltr]
[ltr]b) Resposta: 840 [/ltr]
[ltr]Função Injetora todos os elementos de A (domínio), de per si, se ligam a somente um B (contradomínio). [/ltr]
[ltr]f(a <->b) = P(b, a); f(a<->b)=7c4 -> f(a->b)=840. Trata-se de uma permutação sem repetição. [/ltr]
[ltr]Considere que na injetora, que o contradomínio, as esposas são fiéis, e mulheres ficam solteiras. [/ltr]
[ltr]c) Resposta: f(a<=>b) é impossível.  [/ltr]
[ltr]Função BInjetora todos os elementos de A (domínio) se ligam individualmente a somente um B (contradomínio), e o número de elementos A é igual a B. Repare, que a última condição não é atendida, por isso a impossibilidade de solução. [/ltr]
[ltr]Nem se diga que a resposta é a mesma da injetora. Conceitos matemáticos diferentes precisam ser distinguidos matematicamente.   [/ltr]