Derivação Implícita

por IaraAlmeida Qui 23 Abr 2015, 23:17

Alguém poderia me ajudar a achar a \frac{dy}{dx} de:

a)y= $\sqrt{\frac{\cos(x) -1}{\sin(x) }}$
b) $\csc (x-y)+\sec (x+y) = x$
c) $\sin^{7}[\ \cos(2x+1)]$

por PedroCunha Sex 24 Abr 2015, 00:22

Olá, Iara.

Faltaram informações na letra a. Confira por favor.

b:

\\ \left[ \csc(x-y) + \sec(x+y)\right]' = x' \therefore \\\\ (-\csc (x-y) \cdot \cot (x-y)) \cdot \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) + (\sec(x+y) \cdot \tan(x+y)) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx} \right) = 1 \therefore \\\\ \frac{dy}{dx} \cdot ( \sec(x+y) \cdot \tan(x+y) + \csc(x-y) \cdot \cot(x-y) ) = 1 - \sec(x+y) \cdot \tan(x+y) + \csc(x-y) \cdot \cot(x-y) \\\\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sec(x+y) \cdot \tan(x+y) + \csc(x-y) \cdot \cot(x-y)}{\sec(x+y) \cdot \tan(x+y) + \csc(x-y) \cdot \cot(x-y)}

Letra c:

\\ \left[\sin^7\left[\cos(2x+1)\right]\right]' \\\\ = 7\sin^6\left[\cos(2x+1)\right] \cdot \cos\left[ \cos(2x+1)\right] \cdot (-\sin(2x+1)) \cdot 2 \\\\ = -14\sin^6\left[\cos(2x+1)\right] \cdot \cos(\cos(2x+1)) \cdot \sin(2x+1)

Att.,
Pedro

por IaraAlmeida Sex 24 Abr 2015, 10:22

PedroCunha escreveu:Olá, Iara.

Faltaram informações na letra a. Confira por favor.

Fiz uma alteração, seria isso que está faltando?

por IaraAlmeida Sex 24 Abr 2015, 10:24

PedroCunha escreveu:
Letra c:

\\ \left[\sin^7\left[\cos(2x+1)\right]\right]' \\\\ = 7\sin^6\left[\cos(2x+1)\right] \cdot \cos\left[ \cos(2x+1)\right] \cdot (-\sin(2x+1)) \cdot 2 \\\\ = -14\sin^6\left[\cos(2x+1)\right] \cdot \cos(\cos(2x+1)) \cdot \sin(2x+1)

Olá Pedro,

A letra c, é derivada normalmente? sem a implícita? E se sim, seria pois só tem a variável x?

por PedroCunha Sex 24 Abr 2015, 17:38

Olá, Iara.

Agora faz sentido:

\\ \left[\sqrt{\frac{\cos x - 1}{\sin x}\right]' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\cos x -1}{\sin x}}} \cdot \frac{-\sin x \cdot \sin x - (\cos x - 1) \cdot \cos x}{\sin^2x} \\\\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{\cos x -1}{\sin x}}} \cdot \frac{-(\sin^2x + \cos^2 x) + \cos x}{\sin^2x} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\cos x -1}{\sin x}}} \cdot \cdot \frac{-1+\cos x}{\sin^2x}

Na letra c, como só existia a variável y de um lado, não foi necessário derivar implicitamente.

Att.,
Pedro