Derivação implícita

por rodocarnot Sáb 26 Set 2015, 11:50

Encontre todos os pontos sobre a curva x².y² + x.y=2 onde a inclinação da reta tangente é -1.

Após derivar implicitamente e igualar a -1 cheguei na seguinte equação , cuja não estou conseguindo resolver

-2yx² -x + y + 2xy²=0

gabarito

p(-1,-1)
p1(1,1)

por diogompaiva Dom 14 Out 2018, 18:53

Derivando a curva:

2xy^2+x^22y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+y+x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0\,\,\,\rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left ( 2x^2y+x \right )=-\left ( 2xy^2+y \right )

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{2xy^2+y}{ 2x^2y+x }=-1\,\,\rightarrow 2xy^2+y= 2x^2y+x\,\,\,\rightarrow y\left ( 2xy+1 \right )=x\left ( 2xy+1 \right )

y=x

Mas nem todo ponto y=x faz parte dessa curva. Basta jogar o ponto (5,5) na equação para ver isso. Então a busca continua:

x^2y^2+xy=2\,\,\rightarrow x^4+x^2-2=0

Fazemos uma substituição de variável a = x²

a^2+a-2=0\,\,\,\rightarrow a_{1}=1,\,a_{2}=-2

Descartamos a raiz negativa, pois a é um número positivo,

x^2=a=1\,\,\rightarrow x=\pm1

Pontos (1,1) e (-1,-1)

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