Sistema de partículas

por **mauk03** Dom 05 Abr 2015, 23:12

Um sistema é formado por duas partículas, cada uma com massa m; uma delas permanece na posição descrita pelo vetor $\vec{r_{1}}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ e outra é lançada com velocidade inicial $v_{0}\vec{j}$ a partir da posição $\vec{r_{2}}=a\vec{i}+c\vec{k}$ . As constantes a, b, c e v0 são positivas; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e ݇ $\vec{k}$ são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z. A energia potencial de interação entre as duas partículas é dada por U(r) = k/r, sendo k uma constante positiva e r, a distância entre elas.
A distância mínima de aproximação entre as partículas é:
a) 2kb/(bmv0² + 2k)
b) 2k(a + c)/[(a + c)mv0² + 2k]
c) 2k(a² + b² + c²)/[(a² + b² + c²)mv0² + 2k]
d) 2k/mv0²
e) b/2

Obs.: Ignore a ação da gravidade.

gabarito:

por **Mimetist** Dom 05 Abr 2015, 23:56

Módulo do vetor distância no instante inicial:

r=|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|=b

Como U=U(r) :

\boxed{U(b)=\frac{k}{b}}

Supondo que tenhamos um sistema conservativo:

E_{m_{i}}=E_{m_{f}}

Conhecendo os valores iniciais das energias potencial e cinética (por conhecer a velocidade inicial) do sistema, obtemos a energia mecânica inicial e, para o instante final, considerando nula a energia cinética (impondo que a energia mecânica final seja puramente potencial), para uma distância mínima d :

\frac{k}{b}+\frac{mv_{o}^2}{2}=U(d)=\frac{k}{d}

\boxed{d=\frac{2bk}{2k+mbv_{o}^2}}

por **mauk03** Seg 06 Abr 2015, 00:04

Mimetist, por que vc considerou que a energia mecânica final é puramente potencial? Então quando a distância de aproximação é mínima temos que a energia cinética é nula?

por **Mimetist** Seg 06 Abr 2015, 00:11

A energia mecânica tem duas contribuições, potencial e cinética. Para que a energia potencial seja máxima, a energia cinética deve ser mínima, isto é, nula (a energia cinética não pode ser negativa).

Como a energia potencial é inversamente proporcional ao módulo da distância entre as partículas componentes do sistema, quando esta tiver seu valor máximo, a distância entre as partículas será mínima.