Álgebra II

Sendo a e b reais tais que  e , o maior valor que  pode assumir é:

A)0
B)1/4
C)1/3
D)1/2
E)1

0 < a ≤ 1

0 < b ≤ 1

Multiplicando ambas ---> 0 < a.b ≤ 1

Somando ambas ---> 0 < a ≤ 2

Valor máximo de a.b/(a + b) é igual a 1/2 e ocorre quando a = b = 1

Elcioschin, você somou e multiplicou ambas, porém não entendi o motivo de a.b/(a+b) ter valor máximo quando a = b = 1. Como você chegou a essa conclusão? Minha dúvida é: como você ''eliminou'' os outros valores apenas somando e multiplicando as desigualdades?

Espero que tenha sido claro, caso contrário reformulo a pergunta.

Outro modo de explicar:

Dividindo ab por a + b temos:

a.b/(a + b) = b - b²/(a + b)

O valor máximo do 2º membro ocorre quando b²/(a + b) for mínimo.

Este valor mínimo ocorre quando a = b = 1 (este é o valor máximo que a e b podem assumir) e vale b²/2b = 1/2

Valor máximo = 1 - 1/2 = 1/2

Elcioschin, entendi que para o segundo membro ser máximo b²/(a + b) tem que ser mínimo, e que quanto maior for o denominador, menor será a fração, por isso a e b devem ser 1.

A minha dúvida é: como saber que não existem outros valores que tornem essa fração menor? Pois eu poderia diminuir o valor de b, por consequência o numerador diminuiria, o que também faz com que uma fração diminua. Dentre todos os valores possíveis, como você conclui que 1/2 é o menor de todos eles?

Pois quando tentei fazer essa questão, eu fiquei travado nessas duas situações:

Situação 1 - se a e b forem máximos: o numerador seria máximo (o que aumenta a fração) e o denominador seria máximo (o que diminui a fração)

Situação 2 - a e b não são máximos: supondo que não sejam máximos, o numerador diminuiria (diminui a fração) e o denominador também diminuiria (o que aumenta a fração).

Então, como saber que ab/(a+b) é máximo na situação 1 e não na situação 2?

Vamos fazer uma análise ligeiramente diferente, para você entender:

x = ab/(a + b) = 1/(1/a + 1/b)

Para a = b = 1 ---> x = 1/2

Para quaisquer valores de a ou de b menores que 1 (e diferente de zero) teremos:

1/a > 1 ou 1/b > 1 (ou ambos maiores do que 1),  o que resulta num denominador maior do que 2 e x < 1/2  

Exemplo: a = 1 e b = 0,9 ---> x = 1/(1/1 + 1/0,9) ---> x ~= 1/2,1

Elcioschin, com essa última análise consegui visualizar. Obrigado pela paciência!