Soma dos quadrados - Função Quadrática

por magcamile Sáb 24 Jan 2015, 22:05

Estou com dúvida nesses exercícios de "soma de quadrados", podem me ajudar?

A soma dos quadrados das raízes da função: f(x)=x²+4x+p vale 40
Qual o valor de p?

Uma das raízes da equação x²-3x+a=0 (a diferente de 0) é também raiz da equação x²+x+5a=0
Qual o valor de "a" e qual a raiz comum?

por **Medeiros** Sáb 24 Jan 2015, 22:15

por **Thálisson C** Sáb 24 Jan 2015, 22:19

soma das raízes: -b/a --> -4 produto de raízes: c/a --> p

$\\\\x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 40 \;\; /\; x_{1} \cdot x_{2} = p\;\; /\;\; x_{1} + x_{2} = -4\\\\ x_{1}^{2}+ x_{2}^{2} = 40 \;\; \rightarrow \;\; (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} =40\\\\ (-4)^{2} -2p = 40 \;\; \rightarrow \;\; p = -12$

por magcamile Sáb 24 Jan 2015, 22:30

Entendi

Muito Obrigada!
Só uma dúvida:a parte de "(x1+x2)² - 2x1x2" é regra geral(fórmula) pra resolver soma de quadrados? Não encontrei isso em nenhum livro Neutral

por **ivomilton** Sáb 24 Jan 2015, 22:32

magcamile escreveu:Estou com dúvida nesses exercícios de "soma de quadrados", podem me ajudar?

A soma dos quadrados das raízes da função: f(x)=x²+4x+p vale 40
Qual o valor de p?

Uma das raízes da equação x²-3x+a=0 (a diferente de 0) é também raiz da equação x²+x+5a=0
Qual o valor de "a" e qual a raiz comum?

Boa noite,

A soma dos quadrados das raízes da função: f(x)=x²+4x+p vale 40
Qual o valor de p?

S = -b/a
S = -4/1
S = -4

x' + x" = -4
x" = -4 - x'

(x')² + (x")²= 40
(x')² + (-4-x')² = 40
(x')² + 16 + 8(x') + (x')² = 40

2(x')² + 8(x') - 24 = 0
(x')² + 4(x') - 12 = 0

Resolvendo por Bhaskara, vem:
(x')' = 2
(x')" = -6

p = (x')(x")
p = 2 * -6
p = -12

Um abraço.

por **Medeiros** Sáb 24 Jan 2015, 22:35

É manipulação do produto notável.

Soma dos quadrados - Função Quadrática 346ky6v

por **Thálisson C** Sáb 24 Jan 2015, 22:37

(a+b)² = a² + 2ab + b² --> se você diminui "-2ab" dos dois lados:

(a+b)² - 2ab = a² + 2ab + b² - 2ab
(a+b)² - 2ab = a² + b²

por magcamile Sáb 24 Jan 2015, 22:44

Muito obrigada, pessoal! Agora eu entendi perfeitamente Very Happy

por **Medeiros** Sáb 24 Jan 2015, 23:52

Você já devia saber que só pode UMA questão por tópico.
Correndo o risco de levar puxão de orelhas do Administrador, vou responder à segunda questão.

Soma dos quadrados - Função Quadrática 9pq9sx

Soma dos quadrados - Função Quadrática 9pq9sx

por PedroCunha Dom 25 Jan 2015, 01:01

Outra maneira:

Seja P(x) = x²-3x+a e G(x) = x²+x+5a. Irei definir H(x) = P(x)-G(x). Assim sendo, H(x) = -4x-4a.

Seja k a raiz comum. Fica claro que H(k) = 0, visto que P(k) = G(k) = 0. Assim:

-4k - 4a = 0 .:. -k - a = 0 .:. -k = a

Assim: P(x) = x²-3x-k e G(x) = x²+x-5k. Como k é raiz:

P(k) = 0 .:. k² - 3k - k = 0 .:. k² - 4k = 0 .:. k = 0 ou k = 4
G(k) = 0 .:. k² + k - 5k = 0 .:. k² - 4k = 0 .:. k = 0 ou k = 4

Como a tem que ser diferente de zero, ficamos com k = 4 e a = -4.

Abraços,
Pedro