Dinâmica & Atrito

por jonathan333 Qua 09 Out 2024, 16:08

Considere uma massa m e um hemisfério de massa M sem atrito em sua superfície interna, ambos em repouso;
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O atrito entre o chão e o hemisfério tem o coeficiente estático de u=1, se a partícula é abandonada do ponto mais alto do hemisfério, encontre o maio valor da razão m/M para o qual o hemisfério nunca deslize sobre a mesa.

por **Giovana Martins** Qui 10 Out 2024, 20:41

Fiz no papel e transcrevi. Espero não ter cometido nenhum errinho de digitação. Se houver dúvidas, avise.

Tome um ponto aleatório do hemisfério no qual a esfera de massa m se situa, tal que:

\[\mathrm{F_C=N-mgsin(\theta)\to \frac{mv^2}{r}=N-mgsin(\theta)}\]

Da conservação da energia no ponto aleatório:

\[\mathrm{E_{m,f}=E_{m,i}\to \frac{1}{2}mv^2=mgrsin(\theta)\ \therefore\ mv^2=2mgrsin(\theta)}\]

Assim:

\[\mathrm{2mgsin(\theta)=N-mgsin(\theta)\ \therefore\ N=3mgsin(\theta)}\]

Esta é a força que o hemisfério exerce sobre a esfera de massa m.

Pela terceira lei de Newton, a esfera exerce sobre o hemisfério uma força de igual intensidade, de mesma direção, porém, sentido oposto.

A partir da decomposição da normal que a esfera exerce sobre o hemisfério:

\[\mathrm{N_x=3mgsin(\theta)cos(\theta)=\frac{3}{2}mgsin(2\theta)}\]

\[\mathrm{N_y=3mgsin^2(\theta)}\]

A força de atrito que age sobre o hemisfério, portanto, é dada por:

\[\mathrm{F_{At} \leq N\mu \to F_{At} \leq \mu [3mgsin^2(\theta) +Mg]}\]

Quando a esfera se move da esquerda para a direita, o hemisfério, pela conservação da quantidade de movimento, tende a se mover para trás, tal que o somatório das forças que agem sobre o hemisfério na horizontal pode ser escrito como:

\[\mathrm{\sum F_{x}\to P(\theta)=\frac{3}{2}mgsin(2\theta)-\mu [3mgsin^2(\theta) +Mg]}\]

\[\mathrm{\frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta }\left\{\frac{3}{2}mgsin(2\theta)-\mu [3mgsin^2(\theta) +Mg] \right\}=0}\]

Como, dentre as grandezas, a única variável é o ângulo, podemos escrever tudo em função de derivadas ordinárias, logo:

\[\mathrm{\frac{d P(\theta)}{d \theta}=\frac{d}{d \theta }\left\{\frac{3}{2}mgsin(2\theta)-\mu [3mgsin^2(\theta) +Mg] \right\}=0\ \therefore\ \tan(2\theta)=\frac{1}{\mu}}\]

Da tangente obtida, tem-se que num triângulo retângulo a hipotenusa será dada por √(1+µ²). Assim, pelas identidades trigonométricas adiante:

\[\mathrm{sin^2(\theta)=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\ e\ cos(2\theta)=1-sin^2(\theta)}\]

\[\mathrm{P(\theta)=\frac{3}{2}mg\left ( \frac{1}{\sqrt{1+\mu ^2}} \right )-Mg\mu -3mg\left ( \frac{1}{2}-\frac{\mu }{2\sqrt{1+\mu ^2}} \right )}\]

Como o hemisfério, pelo enunciado, deve manter-se estático, logo, P(θ) ≤ 0. Desta desigualdade, tem-se:

\[\mathrm{\frac{3}{2}mg\left ( \frac{1}{\sqrt{1+\mu ^2}} \right )-Mg\mu -3mg\left ( \frac{1}{2}-\frac{\mu }{2\sqrt{1+\mu ^2}} \right )\leq 0\ \therefore\ \frac{m}{M}\leq \frac{2}{3}\left (1+\sqrt{2} \right )}\]

Ou seja:

\[\boxed{\mathrm{\left (\frac{m}{M} \right )_{max}= \frac{2}{3}\left (1+\sqrt{2} \right )}}\]

por **Leonardo Mariano** Qui 10 Out 2024, 23:56

Bah, solução genial demais, eu fiquei com essa questão na cabeça desde ontem, mas a partir do somatório das forças na horizontal eu travei Sad

. Agora tudo faz sentido kkkkkkkk.

por **Giovana Martins** Sex 11 Out 2024, 05:50

Leonardo Mariano escreveu:
Bah, solução genial demais, eu fiquei com essa questão na cabeça desde ontem, mas a partir do somatório das forças na horizontal eu travei . Agora tudo faz sentido kkkkkkkk.

Muito obrigada, Leonardo!

Tenha um bom dia.

por **Elcioschin** Sex 11 Out 2024, 08:35

Excelente solução! Merece ir para "Questões Fora de Série (Resolvidas)"

por jonathan333 Ter 15 Out 2024, 09:34

Obrigado pela solução, foi ótima! Esse problema era bem mais obscuro do que eu imaginava kkkkkk.

Só por curiosidade, como ele foi direcionado para alunos de turma ITA/IME, você acha que seria possível resolvê-lo apenas com o que é ensinado no nível de ensino médio?

por **Giovana Martins** Ter 15 Out 2024, 09:44

Obrigada!

Quando eu desenvolvi a resolução, eu não cheguei a tentar maximizar a função trigonométrica a partir de algum algebrismo do ensino médio.

À noite eu tento propor algo para você usando só conceitos do ensino médio.

Se eu conseguir eu posto. Do contrário, aviso.

por **Giovana Martins** Hoje à(s) 20:56

jonathan333 escreveu:
Obrigado pela solução, foi ótima! Esse problema era bem mais obscuro do que eu imaginava kkkkkk.

Só por curiosidade, como ele foi direcionado para alunos de turma ITA/IME, você acha que seria possível resolvê-lo apenas com o que é ensinado no nível de ensino médio?

Boa noite, Jonathan.

Acredito não haver solução para o problema sem utilizar derivadas.

Eu, pelo menos, não vi uma saída.