Inequação modular trigonométrica

por Gabriel EFOMM12345 Sex 26 Dez 2014, 11:33

resolva a inequação |cosx|>= senx, com 0 < x < 2pi

Gab: 0< x< pi/4 e 3pi/4 < x < 2pi

por **Elcioschin** Sex 26 Dez 2014, 12:24

Enunciado incompleto: ...... com 0 ??????

por Gabriel EFOMM12345 Sex 26 Dez 2014, 15:35

estranhamente o resto da equação foi apagado, mas já consertei!

por **Carlos Adir** Sex 26 Dez 2014, 19:53

Ora, é só observarmos.
$cos \ x \in [-1, 1]$

$cos \ \dfrac{\pi}{4} = sen \ \dfrac{\pi}{4}; \ \ \ cos \ \dfrac{5 \pi}{4} = sen \ \dfrac{5\pi}{4}$

Então:
$\\ Se \ x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4} \right) \Rightarrow cos \ x > sen \ x \\ Se \ x \in \left [\dfrac{3\pi}{4}, \pi \right ) \Rightarrow |cos \ x | > sen \ x \\ Se \ x \in \left[\pi, 2 \pi\right) \Rightarrow sen \ x <0 \Rightarrow |cos \ x | > sen \ x \\ \therefore Se \ x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right) \cup \left[\dfrac{3\pi}{4}, \ 2 \pi\right] \Rightarrow |cos \ x | > sen \ x$

Spoiler:

Na área cinza, temos que cosseno são positivos e seno, e o valor do módulo não interfere então.
Na área vermelha, o cosseno será sempre menor que o seno, visto que o seno é positivo.
Na área azul, temos que cosseno é negativo, mas seu módulo é maior que o valor do seno.
Na área verde, temos que o seno será negativo, então o módulo de cosseno será sempre maior que 0, então nesse intervalo o módulo do cosseno sempre será maior que o seno.

Portanto, em toda a parte o módulo do cosseno será maior que o seno, exceto na parte assinalada com vermelho.