Sequencias e Series

por L.Lawliet Sex 12 Dez 2014, 20:30

Considere a sequência de termo geral: $a_{n}=\sum_{1}^{n}(1/k^2)$

a)Prove que a_n é crescente

b)Prove que para todo natural n ≥ 1 tem-se a_n<2

por Man Utd Qui 18 Dez 2014, 23:34

Olá

Para a sequência ser crescente devemos ter: $a_{n+1}\geq a_{n}$ , logo como :

$\\\\\\ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \\\\\\ \frac{\sum_{k=1}^{n+1} \; \frac{1}{k^2}}{\sum_{k=1}^{n} \; \frac{1}{k^2}} \\\\\\ \frac{\sum_{k=1}^{n} \; \frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}{\sum_{k=1}^{n} \; \frac{1}{k^2}} \geq 1$

b) para provar , podemos tentar resolver : $\\\\\\ \sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{1}{k^2}$ , eis aqui resolvido: http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basileia , ou podemos encontrar a soma da série pela série de fourier de x² no intervalo [-pi,pi] :

$\\\\\\ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty} \; a_{n} \cos(nx)+\sum_{k=1}^{+\infty} \; b_{n} \sin(nx) \\\\\\ a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \; x^2 \; dx=\frac{2 \pi^{2}}{3} \\\\\\ a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \; x^2 \cos(nx) \; dx=\frac{2 (-1)^{n}}{n^2} \\\\\\ b_{n}=0 \;\;\;\; \left( \text{Pois } \; x^2 \; \text{\'e uma fun\c{c}\~ao par} \right )$

Logo a série de fourier é:

$\\\\\\ x^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{4 (-1)^{n}}{n^2} \cos(nx) \\\\\\ \text{Para x=pi temos :} \\\\\\ \pi^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{4}{n^2} \\\\\\ \frac{2\pi^2}{3}=\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{4}{n^2}$

$\\\\\\ \sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}$

Que é o msm resultado do da solução do wikipedia,completando assim a demonstração já que $\\\\\\ \frac{\pi^2}{6}<2$ .

por L.Lawliet Sex 19 Dez 2014, 01:25

Man Utd, valeu pela solução!!!

O livro ainda não chegou em integrais e série de fourier. Mas assim que chegar, eu releio a solução.

Valeu!!

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