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Mensagem por PedroCunha Ter 08 Set 2015, 03:41

Olá, amigos.

Mostre que \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lfloor{ \sin \left( \frac{4\pi}{n} \right) + 3\rfloor }}{4^n} é convergente e que sua soma vale \\ \frac{63 \cdot 2^{10} + 1}{2^{16}} .

Minha solução:

para   \\ n < 9 , pois para

  \\ n > 9, 0 < \frac{4\pi}{n} < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow 0 < \sin \left( \frac{4\pi}{n}\right) < 1 \Leftrightarrow \lfloor{ \sin \left( \frac{4\pi}{n} \right) \rfloor} = 0

, a série é tal que ela pode ser reescrita como:

\\ \frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} + \frac{2}{4^3} + \frac{3}{4^4} + \frac{3}{4^5} + \frac{3}{4^6} + \frac{3}{4^7} + \frac{4}{4^8} .

Para \\ n > 8 , a série pode ser reescrita como a série geométrica \\ 3 \cdot \sum_{n=9}^{\infty} \frac{1}{4^n} que é convergente e tem soma \\ 3 \left( \cdot \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} - \sum_{n = 1}^{8} \frac{1}{4^n} \right) .

Logo, a série dada tem soma:


\\ \frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} + \frac{2}{4^3} + \frac{3}{4^4} + \frac{3}{4^5} + \frac{3}{4^6} + \frac{3}{4^7} + \frac{4}{4^8} + 1 - \frac{3}{4} - \frac{3}{4^2} - \frac{3}{4^3} - \frac{3}{4^4} - \frac{3}{4^5} - \frac{3}{4^6} - \frac{3}{4^7} - \frac{3}{4^8}  \\\\ = 1 - \frac{1}{4^3} + \frac{1}{4^8} = 1 - \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^{16}} = \frac{2^{16} - 2^{10}+ 1}{2^{16}} \\\\ = \frac{63 \cdot 2^{10}  + 1}{2^{16}}


É isso mesmo?

Grato pela atenção.

Obs.: \\ \lfloor{x \rfloor} é a função menor inteiro, ou seja, \\ \lfloor{-2.4 \rfloor} = -3 \text{ e } \lfloor{1.2 \rfloor} = 1 .
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Mensagem por PedroCunha Qua 09 Set 2015, 02:59

Up!
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