Explicação de uma fórmula

Determine o número de divisores positivos do número 8400.

Decompondo, eu encontrei:

2^4*3*5^2*7


A fórmula é a seguinte: pegue os expoentes, adicione uma unidade e multiplique-os.


Nesse caso:

(4+1)(1+1)(2+1)(1+1) = 60

Alguém pode me explicar o por quê disso ?
Quando pode ser usado ?

Rafa, você já ouviu falar do PFC (princípio fundamental da contagem)?

Caso não então lá vai:
Imagine que você tem 2 calças e 3 blusas. De quantos modos diferentes você pode se vestir com essas roupas?
(N° de Calças)x(N° de Blusas) = 2x3 = 6 modos possíveis.

Bom, a ideia é que você utilize o PFC (princípio fundamental da contagem) nas bases diferentes. Ou seja se você tem o número
12 = 2²x3¹.
Observe que você tem como divisores.
Na base 2:
2⁰, 2¹, 2² -----=-- (3 divisores na base 2)

Na base 3:
3⁰ e 3¹ -----------(2 divisores na base 3)

Pelo PFC temos:
(N° de Divisores de 12) = (N° de Divisores de 12 na Base 2)x(N° de Divisores de 12 na Base 3) = 3x2 = 6 divisores.

OU

(N° de Divisores de 12) = [(Expoente da Base 2) + 1]x[(Expoente da Base 3) + 1]

Onde o "+ 1" é justamente a base elevado a 0.

Entendeu?

Espero ter contribuído com o esclarecimento de sua dúvida,

Aryleudo (Ary).

Determine o número de divisores positivos do número 8400.

Decompondo, eu encontrei:

2^4*3*5^2*7


A fórmula é a seguinte: pegue os expoentes, adicione uma unidade e multiplique-os.


Nesse caso:

(4+1)(1+1)(2+1)(1+1) = 60

Alguém pode me explicar o por quê disso ?
Quando pode ser usado ?

Para o seu caso particular temos:
2⁴x3¹x5²x7¹

Na base 2:
2⁰, 2¹, 2², 2³ e 2⁴ ---------(5 divisores de 8400 na base 2);

Na base 3:
3⁰ e 3¹ -------------------(2 divisores de 8400 na base 3);

Na base 5:
5⁰, 5¹ e 5² ---------------(3 divisores de 8400 na base 5);

Na base 7:
7⁰ e 7¹ ------------------ (2 divisores de 8400 na base 7).


Utilizando PFC (Princípio Fundamental da Contagem):
(N° de Divisores de 8400) = (N° de Divisores de 8400 na base 2)x(N° de Divisores de 8400 na base 3)x(N° de Divisores de 8400 na base 5)x(N° de Divisores de 8400 na base 7) = 5x2x3x2 = 60 divisores.

Valeu, Ary. Muito boa a explicação.