(OCM/1999) Números Complexos XI
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(OCM/1999) Números Complexos XI
por medock Qua 24 Set 2014, 01:20
Sejam a e z números complexos, tais que 
. Mostre que se 
, então |z| < 1
medock- Jedi
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Re: (OCM/1999) Números Complexos XI
por Luck Qui 25 Set 2014, 01:46
|(z-a)/(1-a*z)| < 1
|z-a| < |1-a*z|
|z-a|² < |1-a*z|²
(z-a)(z-a)* < (1-a*z)(1-a*z)*
(z-a)(z*-a*) < (1-a*z)(1-az*)
zz* -za* -az* + aa* < 1 -az* -a*z + aa*zz*
|z|² + |a|² < 1 + |a|²|z|²
|z|²(1-|a|²) + |a|² - 1 < 0
|z|²(1 - |a|²) -(1-|a|²) < 0
(1-|a|²)(|z|² - 1) < 0
como |a| < 1 , (1 - |a|²) > 0
assim:
|z|² - 1 < 0 ∴ |z| < 1 , c.q.d
|z-a| < |1-a*z|
|z-a|² < |1-a*z|²
(z-a)(z-a)* < (1-a*z)(1-a*z)*
(z-a)(z*-a*) < (1-a*z)(1-az*)
zz* -za* -az* + aa* < 1 -az* -a*z + aa*zz*
|z|² + |a|² < 1 + |a|²|z|²
|z|²(1-|a|²) + |a|² - 1 < 0
|z|²(1 - |a|²) -(1-|a|²) < 0
(1-|a|²)(|z|² - 1) < 0
como |a| < 1 , (1 - |a|²) > 0
assim:
|z|² - 1 < 0 ∴ |z| < 1 , c.q.d
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