Logaritmo [24]

por **rafaasot** Ter 13 Jul 2010, 21:08

$|log_{2} \ x|>2$

Resposta:

$0<x<\frac{1}{4} \ ou \ x>4$
.
.
.
Eu tentei assim:

1º caso:
.
$-log_{\frac{1}{2}} \ x <2 \rightarrow -log_{\frac{1}{2}} \ x <log_{\frac{1}{2}} \ \frac{1}{2}^{2}\rightarrow x < \frac{1}{4}$

Dúvida, aqui o não teria que ser -x < 1/4 ?????????????

2º caso:
.
$log_{2} \ x > 2\rightarrow log_{2} \ x > log_{2} \ 2^{2}\rightarrow x>4$
.
.
.
Logaritmando positivo:

$x>0$

Fazendo o quadro de sinais eu encontrei 0 < x <1/4

ALGUÉM PODE ME AJUDAR ?

por **Elcioschin** Ter 13 Jul 2010, 21:30

|log[2](x)| > 2

Restrição ----> x > 0

Consequências do módulo:

a) log[2](x) < - 2 ----> log[2](x) < log[2](1/4) ----> x < 1/4

b) log[2](x) > + 2 ----> log[2](x) > log[2](4) -----> x > 4

Juntandoos três resultados ----> 0 < x < 1/4 e x > 4

por **rafaasot** Qua 14 Jul 2010, 09:21

Elcioschin escreveu:|log[2](x)| > 2

Restrição ----> x > 0

Consequências do módulo:

a) log[2](x) < - 2 ----> log[2](x) < log[2](1/4) ----> x < 1/4

b) log[2](x) > + 2 ----> log[2](x) > log[2](4) -----> x > 4

Juntandoos três resultados ----> 0 < x < 1/4 e x > 4

Elcio, então eu não sabia que se houvesse interseção de apenas duas raízes já satisfaria.

Nesse caso, traçando os intervalos nas retas temos:
.
.
____0~~~~1/4~~~~~4~~~~
~~~°~~~~~°______________
____________________°~~~~

0 < x < 1/4 só intersede duas raízes ( 4 fica de fora)

x > 4 só intersede duas raízes ( 1/4 fica de fora)

É isso mesmo ?

por **Elcioschin** Qua 14 Jul 2010, 09:34

Rafael

Por DEFINIÇÃO de logaritmo, o logaritmando deve ser SEMPRE maior do que zero

Assim log[b](y) só existe se y > 0 (independente da base b).

Por definição de MÓDULO:

|z| > k -----> z < - k ou z > + k

Assim, note que, devido ao módulo, DEVERÍAMOS ter x < 1/4 e x > 4.

Porém, a restrição do logaritmando exige que se tenha x > 0

Logo, fazendo a interseção de x > 0 e x < 1/4 -----> 0 < x < 1/4

por **rafaasot** Qua 14 Jul 2010, 10:51

Elcioschin escreveu:Rafael

Por DEFINIÇÃO de logaritmo, o logaritmando deve ser SEMPRE maior do que zero

Assim log[b](y) só existe se y > 0 (independente da base b).

Por definição de MÓDULO:

|z| > k -----> z < - k ou z > + k

Assim, note que, devido ao módulo, DEVERÍAMOS ter x < 1/4 e x > 4.

Porém, a restrição do logaritmando exige que se tenha x > 0

Logo, fazendo a interseção de x > 0 e x < 1/4 -----> 0 < x < 1/4

Elcio, me desculpe por estender o tópico desta forma, mas eu continuo não entendendo.

Eu acabei de fazer um exercício do mesmo tipo, olhe só:
.
.
.
|log x| < 1

1º caso: log x > -1

log x > log 10^-1 ------------> x > 1/10

2º caso: log x < 1

log x < log 10^1 ------------> x < 10

Logaritmando: x > 0

Quadro de sinais:

_____0~~~~1/10~~~~10~~~~
_____°______°~~~~~~°~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~°_____
____________°~~~~~~°____ (INTERSECÇÃO)

Agora sim um único intervalo satisfaz as 3 condições.

1/10 < x < 10

Entendeu a minha dúvida ? A questão é do mesmo jeito da outra, mas a resposta dessa bate com o raciocínio que utilizei na primeira (que não deu certo).

Isso tá meio complexo pra mim Surprised

Uma hora é uma coisa, outra hora é outra.

por **Elcioschin** Qua 14 Jul 2010, 11:19

Rafael

Você está comparando dois exercícios COMPLETAMENTE diferentes

1) No primeiro temos | log[2](x) | > 2

2) No segundo temos | log[10](x) | < 1

Deu para você observar a diferença IMPORTANTÍSSIMA ? Numa delas o sinal é > e no outro o sinal é < !!!!

Vou explicar com mais detalhes esta diferença no sinal da inequação, só que, para facilitar o seu entendimento não vou usar logaritmos:

Seja a inequação -----> | z | < 2.

Concorda que se fizermos z = - 1 ou z = + 1 a inequação fica atendida?

Isto acontece porque | -1 | = 1 e | +1 | = 1 ----> 1 < 2

A solução desta inequação, portanto, é -1 < z < +1, isto é a solução é qualquer valor que esteje situado DENTRO do intervalo mostrado

Seja agora a inequação | y | > 2.

Concorda que se fizermos y = - 3 ou y = + 3 a inequação fica atendida?

Isto acontece porque | -3 | = 3 e | +3 | = 3 ----> 3 > 2

A solução desta inequação, portanto, é z < -2 e z > +2, isto é a solução é qualquer valor que esteje situado FORA do intervalo mostrado

Tudo que eu mostrei acima vale também | log[b] (x) |. Só que, neste caso existe uma restrição : x > 0

por **rafaasot** Qua 14 Jul 2010, 11:31

Valeu, Elcio.

É que minha lógica matemática é PÉSSIMA. Meu pensamento é muito mecânico, se não tiver ali na cara do jeito que eu sei eu me embaralho todo Neutral

O problema é que não vou poder usar o quadro de sinais agora, mas sim pensar nos intervalos.

Valeeeu.

por **Elcioschin** Qua 14 Jul 2010, 12:05

Dá para usar o quadro de sinais sim, com a seguinte convenção:

o = proibido
x = permitido

............................... 0 .................... 1/4 ...................... 4 ...................
x .................. ooooooo xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
log[2](x) > 2 .... xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx oooooooooooooooooo xxxxxxxxxxxxxx

Final ........................... xxxxxxxxxxxxxxx oooooooooooooooooo xxxxxxxxxxxxxx