Produtos Notáveis e Fatoração II

A soma de todos os valores positivos de n para os quais n²-19n+99 é um quadrado perfeito é igual a:

A)30
B)32
C)34
D)36
E)38

William Lima escreveu:A soma de todos os valores positivos de n para os quais n²-19n+99 é um quadrado perfeito é igual a:

A)30
B)32
C)34
D)36
E)38

Boa tarde, William.

n² - 19n + 99 = k²

n² - 19n + 99 - k² = 0

n = [19 ± √(361 - 396 + 4k²)]/2

n = [19 ± √(4k² - 35)]/2


Ora, para que a raiz seja um inteiro, 4k² - 35 deverá ser um quadrado perfeito; logo,
4k² - 35 = w²
4k² - w² = 35
(2k+w)(2k-w) = 35


35 poderá ser decomposto em:
35*1
7*5


Façamos, pois:
2k + w = 35
2k − w = 1
--------------
4k = 36
k = 36/4
k = 9



E também:
2k + w = 7
2k − w = 5
-------------
4k = 12
k = 12/4
k = 3

E passemos a calcular, agora, os possíveis valores de n:
n = [19 ± √(4k² - 35)]/2
n = [19 ± √(4.9² - 35)]/2
n = [19 ± √(4.81 - 35)]/2
n = [19 ± √(324 - 35)]/2
n = [19 ± √289)/2
n = (19 ± 17)/2
n' = 36/2 = 18
n" = 2/2 = 1

n = [19 ± √(4k² - 35)]/2
n = [19 ± √(4.3² - 35)]/2
n = [19 ± √(4.9 - 35)]/2
n = [19 ± √(36 - 35)]/2
n = (19 ± 1)/2
n' = 20/2 = 10
n" = 18/2 = 9


Somando-se as quatro possibilidades encontradas, obtém-se:
18+1+10+9 = 38




Um abraço.

Excelente Ivomilton: Simples e didático !!!!

Muitíssimo obrigado!