As combinações possíveis

por Dinheirow Seg 04 Ago 2014, 19:18

Quantas soluções em inteiros positivos com x1≤6, x2≤7, x3≤8, x4≤9 possui a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 20?

Spoiler:

por Paulo Testoni Sáb 16 Ago 2014, 22:36

Hola.

Portanto 1≤x1≤6 , 1≤x2≤7 , 1≤x3≤8 , 1≤x4≤9
Sejam y1 = 6-x1 , donde 0≤y1≤5
y2 = 7-x2 0≤y2≤6
y3 = 8-x3 0≤y3≤7
y4 = 9-x4 0≤y4≤8
x1+x2+x3+x4=20
6-y1+7-y2+8-y3+9-y4=20
y1+y2+y3+y4=10
O número de soluções inteiras desta equação é C(13,3) = 286
Parêntesis :
--------------------------------------------------------------------------- --
Teoricamente , o nº de soluções de y1+...+yn = k , com yi>=0
é C(n+k-1,n-1)
Podes imaginar 10 pauzinhos IIIIIIIIII e 3 sinais + , e queres encontrar todas as posições em que podes colocar os sinais + no meio dos pauzinhos ( por isso são combinações de 13 , 3 a 3 )
Por exemplo , a solução
I+++IIIIIIIII
corresponde a y1=1 , y2=0 , y3=0 , y4=9 , ou seja x1=5 , x2=7 , x3=8 , x4=0
Mas x4 não pode ser 0 , ainda temos que contar com as restrições y1≤5 , y2≤6 , y3≤7 , y4≤8
-----------------------------------------------------------------------------
Voltando ao problema , vamos retirar os casos em que
y1=6 , logo y2+y3+y4=4 , que tem C(6,2)= 15 soluções
y1=7 y2+y3+y4=3 , C(5,2)= 10
y1=8 y2+y3+y4=2 , C(4,2)= 6
y1=9 y2+y3+y4=1 C(3,2)= 3
y1=10 y2+y3+y4=0 C(2,2)= 1
Repara que retiramos 15+10+6+3+1 = 35 soluções
Da mesma forma para y2= 7,8,9 ou 10, vamos retirar 10+6+3+1=20
para y3 , 6+3+1=10
e para y4 , , 3+1=4
35+20+10+4=69
286 - 69 = 217

Uma colaboração do Carlos Araujo.

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