MDC e MMC

Sejam A = (2^2m) x (3^p) x 5 e  B = (2^p) x (5^m). Sabendo que o MDC desses números é 40 e o MMC igual a 10800, determine os valores naturais de 'm' e 'p'.

Gabarito:

MMC x MDC = AXB
10800x40 = AXB
vamos decompor esse número
10800x40 = 108 x 4 x 10³ =3³ x 2^4 x 10³
3³ x 10 ³ x 2^4 = (2^2m+p)x(5^m+1)x(3^p)
Observar que : 2x5 = 10, logo eles estão relacionados, porém 3 é independente, ou seja, não há nenhum outro número além do próprio 3 que é formado pelo produto 3x5 ou 3x2. Vamos começar por ele
3^p = 3³
p=3
Sabendo disso : 10³x2^4 = (2^2m+3)x(5^m+1)
10³ = 5³x2³
5³x2^7=2(2^2m+3)x(5^m+1)
Tanto faz que número você pegará agora, vamos fazer com 2 e depois com o 5 ->
2^7 = 2^2m+3
2m+3 =7 -> 2m=4 -> m =2
5^m+1 =5³ -> m+1=3 ->m=2

Acho que você confundiu o gabarito amigo. Ou eu errei @.@

Zéh escreveu:Sejam A = (2^2m) x (3^p) x 5 e  B = (2^p) x (5^m). Sabendo que o MDC desses números é 40 e o MMC igual a 10800, determine os valores naturais de 'm' e 'p'.

Gabarito:

Boa tarde, Zéh.

Façamos, para facilitar a leitura:
D = mdc = 40 = 2³ * 5
M = mmc = 10800 = 2⁴ * 3³ * 5²

A*B = M*D
(2^2m * 3^p * 5) * (2^p * 5^m) = (2⁴ * 3³ * 5²) * (2³ * 5)
2^(2m+p) * 3^p * 5^(m+1) = 2⁷ * 3³ * 5³

Logo,
2m+p = 7
p = 3
m+1 = 3

Donde extraímos:
m = 3-1
m = 2

Portanto,
m=2
p=3

Nota: O gabarito está invertido...



Um abraço.

Obrigado pessoal!