(Olimpíada de Matemática Argentina - 1987)

por Juliano N Seg 24 Fev 2014, 20:29

Boa noite a todos!
Sabendo que x é um número positivo e que [x + x^(-1)]² = 7, calcule o valor de x³ + x^(-3).
Eu tentei fazer da seguinte maneira:
[x + x^(-1)] = [(x/1)+(1/x)] = [(x² + 1) / x] = (x + 1), então: (x+1)² = x² + 2.x.1 + 1² =7 | x² + 2x + 1 = 7
Logo: x² + 2x -6 = 0.
E a partir deste momento não sei como continuar.

por Juliano N Seg 24 Fev 2014, 20:36

A resposta segundo o gabarito será: 4√7

por **Elcioschin** Seg 24 Fev 2014, 21:40

x + x-¹ = √7

(x + x-¹)³ = (√7)³

x³ + 3.x².x-¹ + 3.x.(x-¹)² + (x-¹)³ = 7.√7

x³ + x-³ + 3.(x + x-¹) = 7.√7

x³ + x-³ + 3.√7 = 7.√7

x³ + x-³ = 4.√7

por **ivomilton** Seg 24 Fev 2014, 22:16

Juliano N escreveu:Boa noite a todos!
Sabendo que x é um número positivo e que [x + x^(-1)]² = 7, calcule o valor de x³ + x^(-3).
Eu tentei fazer da seguinte maneira:
[x + x^(-1)] = [(x/1)+(1/x)] = [(x² + 1) / x] = (x + 1), então: (x+1)² = x² + 2.x.1 + 1² =7 | x² + 2x + 1 = 7
Logo: x² + 2x -6 = 0.
E a partir deste momento não sei como continuar.

Boa noite, Juliano.

(x + 1/x)² = 7 ........... (I)

Produto notável em vista:
(a+b)² = a² + 2ab + b²

Logo, fica:
x² + 2.x.(1/x) + 1/x² = 7
x² + 2 + 1/x² = 7
x² + 1/x² = 7-2
x² + 1/x² = 5 ............ (II)

x³ + 1/x³ = ?

Produto notável em vista:
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

Fazendo:
a³ = x³ → a = x
b³ = 1/x³ → b = 1/x

Portanto, fatorando fica:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x).(x² - x.(1/x) + 1/x²) ..... (III)

Substituindo (II) em (III), e observando que x.(1/x)=1, vem:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x).(5 - 1)
x³ + 1/x³ = (x + 1/x).4

De (I) poderemos obter o valor de (x + 1/x); veja:
(x + 1/x)² = 7

Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os membros, fica:
x + 1/x = √7

Finalmente, temos:
x³ + 1/x³ = 4√7

Um abraço.