Polinômio Interpolador - sistemas e lagrange
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Polinômio Interpolador - sistemas e lagrange
por huguitokiko Sex 31 maio 2024, 18:48
Considere os valores de f(x) dada pela tabela abaixo:
a) Encontrar o polinômio interpolador de f(x) utilizando resolução de sistemas.
b) Encontrar o polinômio interpolador de f(x), na forma de Lagrange.
a) Encontrar o polinômio interpolador de f(x) utilizando resolução de sistemas.
b) Encontrar o polinômio interpolador de f(x), na forma de Lagrange.
huguitokiko- Padawan
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Polinômio Interpolador - sistemas e lagrange
por Giovana Martins Sex 31 maio 2024, 19:42
Item A:
Partindo-se do princípio de estamos lidando com um polinômio da forma P(x) = ax2 + bx + c:
\[\mathrm{P(2)=0,5\ \therefore\ 4a+2b+c=0,5\ (i)}\]
\[\mathrm{P\left (2,5 \right )=0,4\ \therefore\ 6,25a+2,5b+c=0,4\ (ii)}\]
\[\mathrm{P\left (4 \right )=0,25\ \therefore\ 16a+4b+c=0,25\ (iii)}\]
De (i), (ii) e (iii), tem-se (a,b,c) = (0.05,-0.425,1.15), tal que: P(x) = 0.05x2 - 0.425x + 1.15.
Testando os valores da tabela:
P(2) = 0.05 x (2)2 - 0.425 x (2) + 1.15 = 0.5 (ok)
P(2.5) = 0.05 x (2.5)2 - 0.425 x (2.5) + 1.15 = 0.4 (ok)
P(2.5) = 0.05 x (4)2 - 0.425 x (4) + 1.15 = 0.25 (ok)
Item B:
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
\[\mathrm{P(x)=\sum_{k=1}^{n+1}\left [y_k\theta _k(x) \right ]\ sendo\ \theta _k=\frac{(x-x_1)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n+1})}{(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x_1-x_{n+1})}}\]
\[\mathrm{\theta _1=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{(x-2,5)(x-4)}{(2-2,5)(2-4)}=x^2 - 6.5 x + 10}\]
\[\mathrm{\theta _2=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}=\frac{(x-2)(x-4)}{(2,5-2)(2,5-4)}=-\frac{4}{3}(x-2)(x-4)}\]
\[\mathrm{\theta _3=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=\frac{(x-2)(x-2,5)}{(4-2)(4-2,5)}=\frac{1}{3}(x-2)(x-2.5)}\]
\[\mathrm{P(x)= \sum_{k=1}^{3}\left [y_k\theta _k(x) \right ]=0.5\left ( x^2 - 6.5 x + 10\right )+0.4\left [ -\frac{4}{3}(x-2)(x-4) \right ]+0.25\left [ \frac{1}{3}(x-2)(x-2.5) \right ]}\]
\[\mathrm{P(x)\approx 0.05x^2-0.43x+1.15}\]
Veja que o valor é bem próximo do obtido via sistema.
Giovana Martins- Grande Mestre
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