Multiplicadores de lagrange
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Multiplicadores de lagrange
por YagoBB Dom 22 Nov 2015, 20:20
Determine os pontos da esfera x²+y²+z² = 4 que estão mais próximos e mais distante do ponto (3,1,-1) .
alguém poderia me ajudar nessa por favor ?
nao consegui fazer
mais proximo : 6/
√11 , 2/√11 , -2/√11
mais distante : -6/√11,-2/√11 , 2/√11
alguém poderia me ajudar nessa por favor ?
nao consegui fazer
mais proximo : 6/
√11 , 2/√11 , -2/√11
mais distante : -6/√11,-2/√11 , 2/√11
YagoBB- Recebeu o sabre de luz
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Re: Multiplicadores de lagrange
por Fito42 Dom 22 Nov 2015, 23:02
Para aplicarmos os multiplicadores, precisamos ter a função principal (f) e as restrições (g). Vamos lá:
Chamemos de f a distância ao quadrado entre uma dada terna (x,y,z) e (3,1,-1), então:
f(x,y,z) = (x-3)² + (y-1)² + (z+1)²
A restrição para a terna (x,y,z) é que ela pertença à esfera, então
g(x,y,z) = x² + y² + z² - 4
Podemos derivar parcialmente f e g em x, y e z para obtermos:
∇f(x,y,z) = (2x - 6, 2y - 2, 2z + 2)
∇g(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)
Podemo escrever:
∇f = λ∇g (I)
g(x,y,z) = 0
Desenvolvendo (I):
(2x - 6, 2y - 2, 2z + 2) = λ(2x, 2y, 2z)
Então:
x = 3/(1-λ) equação a
y = 1/(1-λ) eq b
z = -1/(1-λ) eq c
Desenvolvendo (II) e subs das eqs a, b e c:
x² + y² + z² - 4 = 0
9/(1-λ)² + 1/(1-λ)² + 1/(1-λ)² = 4
9 + 1 + 1 = 4(1-λ)²
4λ² - 8λ - 7 = 0, cujas raízes são:
λ = 1 +- 1/2 sqrt(11)
Subs. λ nas eqs a,b e c chegamos no resultado
Chamemos de f a distância ao quadrado entre uma dada terna (x,y,z) e (3,1,-1), então:
f(x,y,z) = (x-3)² + (y-1)² + (z+1)²
A restrição para a terna (x,y,z) é que ela pertença à esfera, então
g(x,y,z) = x² + y² + z² - 4
Podemos derivar parcialmente f e g em x, y e z para obtermos:
∇f(x,y,z) = (2x - 6, 2y - 2, 2z + 2)
∇g(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)
Podemo escrever:
∇f = λ∇g (I)
g(x,y,z) = 0
Desenvolvendo (I):
(2x - 6, 2y - 2, 2z + 2) = λ(2x, 2y, 2z)
Então:
x = 3/(1-λ) equação a
y = 1/(1-λ) eq b
z = -1/(1-λ) eq c
Desenvolvendo (II) e subs das eqs a, b e c:
x² + y² + z² - 4 = 0
9/(1-λ)² + 1/(1-λ)² + 1/(1-λ)² = 4
9 + 1 + 1 = 4(1-λ)²
4λ² - 8λ - 7 = 0, cujas raízes são:
λ = 1 +- 1/2 sqrt(11)
Subs. λ nas eqs a,b e c chegamos no resultado
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