Polinômio interpolador - Forma de Newton

Encontrar o polinômio interpolador da função, usando a forma de Newton:

O polinômio interpolador é da forma
\[p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_1)(x-x_0)+a_3(x-x_2)(x-x_1)(x-x_0)+a_4(x-x_3)(x-x_2)(x-x_1)(x-x_0)\]
sendo que os índices \(a_n\) estão associados ao grau do polinômio.

Neste exercício, temos a vantagem de saber de antemão que o polinômio é de grau 2, pois é nítido que \(f(x)=x^2\).
\[a_0=f(x_0)=1\]
\[a_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{4-1}{2-1}=3\]
\[a_2=\dfrac{\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}=\dfrac{\dfrac{9-4}{3-2}-\dfrac{4-1}{2-1}}{3-1}=\frac{5-3}{2}=1\]
Se interrompermos a construção do polinômio neste ponto, teremos
\[p(x)=1+3(x-1)+1(x-1)(x-2)=1+3x-3+x^2-2x-x+2=x^2+3x-3x-3+3\]
\[\color{red}p(x)=x^2\]
Se continuarmos a interpolação para os graus 3 e 4, os coeficientes \(a_3\) e \(a_4\) serão iguais a zero, visto que sabemos logo de início que a função dada do enunciado é \(f(x)=x^2\).

Vamos calcular \(a_3\) para ter certeza.
\[a_3=\dfrac{\dfrac{\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}-\dfrac{\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}}{x_3-x_0}\]
\[a_3=\dfrac{\dfrac{\dfrac{16-9}{4-3}-\dfrac{9-4}{3-2}}{4-2}-\dfrac{\dfrac{9-4}{3-2}-\dfrac{4-1}{2-1}}{3-1}}{4-1}=\dfrac{\dfrac{7-5-5+3}{2}}{3}=0\]
\[p(x)=1+3(x-1)+1(x-1)(x-2)+0(x-1)(x-2)(x-3)\]
\[\color{red}p(x)=x^2\]
De forma similar, podemos calcular \(a_4\).
\[a_4=\dfrac{\dfrac{\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}-\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}{x_4-x_2}-\dfrac{\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}}{x_4-x_0}\]
\[a_4=\dfrac{\dfrac{\dfrac{25-16}{5-4}-\dfrac{16-9}{4-3}}{5-3}-\dfrac{\dfrac{16-9}{4-3}-\dfrac{9-4}{3-2}}{4-2}}{5-1}=\dfrac{\dfrac{9-7-7+5}{2}}{4}=0\]
\[p(x)=1+3(x-1)+1(x-1)(x-2)+0(x-1)(x-2)(x-3)+0(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\]
\[\color{red}p(x)=x^2\]
Referências:

• https://docs.ufpr.br/~volmir/MN_12_interpolacao_newton_e_erros_ppt.pdf (veja o exemplo na página 21; ótimo para ajudar a montar a solução deste exercício em uma planilha eletrônica)
  
• https://www.ime.unicamp.br/~roman/courses/MS211/1s2020/interpolacao2.pdf
  
• https://engcourses-uofa.ca/books/numericalanalysis/polynomial-interpolation/newton-interpolating-polynomials/
  
• https://www.dcode.fr/newton-interpolating-polynomial (calculadora de polinômio de interpolação de Newton)