Binômio de Newton - Polinômio

por Jean1512 Qui 24 Nov 2011, 10:58

Sabendo que $(1 + x + x^{2})^n = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + ... + a_{2n}x^{2n}$ .

Então a soma dos algarismos de S tal que $S = \sum_{p=0}^{5}\binom{n}{2p + 1}$
e satisfaz a condição $a_{1} + a_{4} + a_{7} + ... =59049$ é igual a:

a)7
b)6
c)5
d)4
e)3

GAB:

Spoiler:

OBS: Questão 07) 1º Simulado ITA/IME LPM
Disponível em:

http://www.rumoaoita.com/site/attachments/364_SIMULADO_2010___ITA%20IME__N01.pdf

por **Victor M** Sex 25 Nov 2011, 10:31

Substitua x por cis (2pi/3)(uma das raízes do polinômio da esquerda):

0 = A0 + A1*cis (2pi/3) + A2*[cis (2pi/3)]² + ... + A2n*[cis (2pi/3)]^2n
0 = (A0 + A3 + A6 + ... )+ cis (2pi/3)[A1 + A4 + A7 + ...)+ cis(4pi/3) (A2+A5 + ...)

Logo, podemos igualar a parte real do polinômio a zero:

cos (2pi/3)(A1 + A4 + A7 + ...) + cos(4pi/3) (A2+A5 + ...) + (A0 + A3 + A6 + ... ) = 0
(A0 + A3 + A6 + ... ) = 1/2 (A1 + A4 + A7 + ...) + 1/2 (A2+A5 + ...) (I)

E também a parte imaginária:

sen (2pi/3)(A1 + A4 + A7 + ...) + sen (4pi/3)(A2+A5 + ...) = 0
observando que sen(2pi/3)=-sen(4pi/3)
(A2+A5 + ...) = (A1 + A4 + A7 + ...) (II)

Subsitituindo II em I:
(A0 + A3 + A6 + ... ) = (A1 + A4 + A7 + ...) = (A2+A5 + ...)

Agora na equação original substitua x por 1:

3^n = (A0 + A3 + A6 + ... ) + (A1 + A4 + A7 + ...) + (A2+A5 + ...)
3^n = 59049 + 59049 + 59049= 177147 = 3^11
n= 11

Calculando a soma pedida:

C11,1 + C11,3 + C11,5 + C11,7 + C11,9 + C11,11 = 2^(11-1)
C11,1 + C11,3 + C11,5 + C11,7 + C11,9 + C11,11 = 2^10 = 1024

1+0+2+4 = 7

Alternativa A.

Cumprimentos, Victor M.