terceira lei de Kepler e velocidade orbital

por Kozume_Kenma Qua 21 Jul 2021, 19:53

O raio do horizonte de eventos de um buraco negro corresponde à esfera dentro da qual nada, nem mesmo
a luz, escapa da atração gravitacional por ele exercida. Por coincidência, esse raio pode ser calculado não
relativisticamente como o raio para o qual a velocidade de escape é igual à velocidade da luz. Qual deve ser
o raio do horizonte de eventos de um buraco negro com uma massa igual à massa da Terra?

Dados:
massa da Terra: 6,0.1024kg
velocidade da luz no vácuo: 3,0.108m/s
constante de gravitação universal: 6,67.10-11N.m2/kg2

terceira lei de Kepler e velocidade orbital Screen10

por **gabriel de castro** Qua 21 Jul 2021, 20:04

Olá Kozume,

Para essa questão você pode tanto deduzir quanto simplesmente utilizar a equação do Raio de Schwarzschild, mas por via das dúvidas vamos deduzir:

[latex]E_{C}=E_{G}\;\Rightarrow\;\frac{m.V^{2}}{2}=\frac{GM}{R}\;\Rightarrow\;V=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=c\;\Rightarrow\;c=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\;\Rightarrow\\\\R=\frac{2GM}{c^{2}}\;\Rightarrow\;R=\frac{2.6,67.10^{-11}.6.10^{24}}{(3.10^{8})^{2}}\;\therefore\;\boxed{R=8,9.10^{-3}\;m}[/latex]

Espero ter ajudado Smile

por Sam+uel Sáb 01 Jun 2024, 08:35

gabriel de castro escreveu:Olá Kozume,

Para essa questão você pode tanto deduzir quanto simplesmente utilizar a equação do Raio de Schwarzschild, mas por via das dúvidas vamos deduzir:

[latex]E_{C}=E_{G}\;\Rightarrow\;\frac{m.V^{2}}{2}=\frac{GM}{R}\;\Rightarrow\;V=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=c\;\Rightarrow\;c=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\;\Rightarrow\\\\R=\frac{2GM}{c^{2}}\;\Rightarrow\;R=\frac{2.6,67.10^{-11}.6.10^{24}}{(3.10^{8})^{2}}\;\therefore\;\boxed{R=8,9.10^{-3}\;m}[/latex]

Espero ter ajudado

Por que eu não posso igualar a Força gravitacional com a Força centrípeta?

por **Giovana Martins** Sáb 01 Jun 2024, 09:32

Você, sem querer, deixou passar uma leve sutileza do enunciado, qual seja:

"O raio do horizonte de eventos de um buraco negro corresponde à esfera dentro da qual nada, nem mesmo a luz, escapa da atração gravitacional por ele exercida. Por coincidência, esse raio pode ser calculado não relativisticamente como o raio para o qual a velocidade de escape é igual à velocidade da luz. Qual deve ser o raio do horizonte de eventos de um buraco negro com uma massa igual à massa da Terra?"

Note que para o fenômeno descrito pelo enunciado ocorrer, ele deve ser formulado a partir da velocidade de escape.

A velocidade de escape é obtida fazendo-se justamente a manipulação abaixo:

\[\mathrm{E_C=E_G\to v_{Escape}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}\]

Ao igualar a força gravitacional à força centrípeta você obtém a velocidade orbital, que é um conceito diferente do conceito de velocidade de escape.

\[\mathrm{F_C=F_G\to v_{Orbital}=\sqrt{\frac{GM}{R}}}\]

Se possível, pesquise pelos dois conceitos.