Efetue a divisão de f por g
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Efetue a divisão de f por g
por phodz Sex 31 maio 2024, 18:04
Efetue a divisão de f = [latex]x^3+ax+b[/latex] por g = [latex]2x^2+2x-6[/latex]. Qual é a condição para que a divisão seja exata?
Gabarito:a = -4 e b = 3
Gabarito:a = -4 e b = 3
Última edição por phodz em Sáb 01 Jun 2024, 11:48, editado 1 vez(es)
phodz- Recebeu o sabre de luz
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Re: Efetue a divisão de f por g
por Elcioschin Sex 31 maio 2024, 19:12
Basta dividir, usando método da chave e igualar cada parcela do resto a zero:
x³ + 0.x² + a.x + b |2.x² + 2.x - 6
..........................--|
x³ + 0.x² + a.x + b |2.x² + 2.x - 6
..........................--|
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Efetue a divisão de f por g
por Giovana Martins Sex 31 maio 2024, 20:03
Outro modo.
Pelo Teorema de D'Alembert, dado um polinômio P(x) divisível por "x - k", logo, P(k) = 0. Ou seja, se a divisão de f(x) por g(x) é exata, logo, as raízes de g(x) são raízes de f(x). Ache as raízes de g(x).
Sendo u e w as raízes de g(x), faça P(u) = 0 e P(w) = 0. Você cairá em um sistema linear em função de a e b.
Vou ser sincera, não vou desenvolver as continhas, porque as raízes de g(x), se não houver nenhum erro de digitação, estão bem ruins para fazer o algebrismo, mas a ideia é esta. Estou com preguicinha
.
De qualquer modo, se você preferir, eu posto os cálculos detalhados.
Pelo Teorema de D'Alembert, dado um polinômio P(x) divisível por "x - k", logo, P(k) = 0. Ou seja, se a divisão de f(x) por g(x) é exata, logo, as raízes de g(x) são raízes de f(x). Ache as raízes de g(x).
Sendo u e w as raízes de g(x), faça P(u) = 0 e P(w) = 0. Você cairá em um sistema linear em função de a e b.
Vou ser sincera, não vou desenvolver as continhas, porque as raízes de g(x), se não houver nenhum erro de digitação, estão bem ruins para fazer o algebrismo, mas a ideia é esta. Estou com preguicinha
.De qualquer modo, se você preferir, eu posto os cálculos detalhados.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Efetue a divisão de f por g
por Elcioschin Seg 03 Jun 2024, 12:08
Outra solução, denominada "Método dos Coeficientes a Determinar":
Seja q(x) = n.x + p o quociente da divisão.
x³ + 0.x² + a.x + b = (2.x² + 2.x - 6).(n.x + p) --->
1.x³ + 0.x² + a.x + b = 2.n.x³ + (2.n + 2.p).x² + (2.p - 6.n).x - 6.p
Igualando dois a dois os coeficientes dos termos de mesmo grau:
2.n = 1 ---> n = 1/2
2.n + 2.p = 0 ---> 2.(1/2)+ 2.p = 0 ---> p = - 1/2
2.p - 6.n = a ---> 2.(- 1/2) - 6.(-1/2) = a ---> a = - 4
- 6.p = b ---> - 6.(-1/2) = b ---> b = 3
Seja q(x) = n.x + p o quociente da divisão.
x³ + 0.x² + a.x + b = (2.x² + 2.x - 6).(n.x + p) --->
1.x³ + 0.x² + a.x + b = 2.n.x³ + (2.n + 2.p).x² + (2.p - 6.n).x - 6.p
Igualando dois a dois os coeficientes dos termos de mesmo grau:
2.n = 1 ---> n = 1/2
2.n + 2.p = 0 ---> 2.(1/2)+ 2.p = 0 ---> p = - 1/2
2.p - 6.n = a ---> 2.(- 1/2) - 6.(-1/2) = a ---> a = - 4
- 6.p = b ---> - 6.(-1/2) = b ---> b = 3
Elcioschin- Grande Mestre
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