Divisão de polinômios

por Leonam O. Hoje à(s) 11:54

Um polinômio dividido por x + 1 dá resto 4.
Dividido por x² + 1 dá resto 2x + 3.
Qual é o resto da divisão por (x + 1)(x² + 1)?

Gab: 3x²/2 + 2x + 9/2

por **Giovana Martins** Hoje à(s) 12:15

Questões como estas são clássicas e sempre chatas de serem resolvidas. A ideia é a seguinte:

Do algoritmo da divisão euclidiana, podemos escrever a regra de divisão entre polinômios, qual seja:

Dividendo (P(x)) = Quociente (Q(x)) x Divisor (D(x)) + Resto (R(x))

Para a nossa questão:

\[\mathrm{P(x)=Q(x)\cdot (x+1)(x^2+1)+R(x)}\]

Na divisão entre polinômios o grau do resto é estritamente menor que o grau do divisor, isto é, g(R(x)) < g(D(x)). Sendo assim, podemos dizer que R(x) é da forma R(x) = ax² + bx + c, pois g(D(x)) = 3.

Note que:

\[\mathrm{P(-1)=R(-1)=4\ e\ P(x)=R(x)=2x+3\ se\ x=\pm i}\]

Assim:

\[\mathrm{R(-1)=4\ \therefore\ a-b+c=4\ (i)}\]

\[\mathrm{R(i)=2i+3\ \therefore\ -a+bi+c=2i+3\ \therefore\ (-a+c,b)=(3,2)\ (ii)}\]

\[\mathrm{R(-i)=-2i+3\ \therefore\ -a-bi+c=-2i+3\ \therefore\ (-a+c,-b)=(3,-2)\ (ii)}\]

Deste modo, tem-se o seguinte sistema:

\[\mathrm{a-b+c=4}\]

\[\mathrm{-a+c=3}\]

\[\mathrm{b=2}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{(a,b,c)= \left ( \frac{3}{2},2,\frac{9}{2} \right )}\]

Logo:

\[\mathrm{\boxed{\mathrm{R(x)=\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}}}}\]

Nota¹: a notação g(f(x)) para designar o grau de f(x) não tem fundamentação teórica. Escrevi desta forma apenas para facilitar a escrita.

Nota²: sugiro fazer um teste em torno de R(x) obtido para concluir quanto ao gabarito.

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