Equação irracional

Resolva: 5√(33-x) + 5√x=3 
Não tem gabarito e os dois 5 ali quer dizer que é a raíz quinta (não sei colocar).

Olá.

A única maneira que vejo é no olhômetro.

Vamos procurar alguma raiz 'quinta' exata perto de 33. A mais próxima é 32, que 2^5. Para termos 32 dentro da raiz, x = 1. Testando essa possibilidade:

^5√(32) + ^5√(1) = 3 .:. 2 + 1 = 3 .:. 3 = 3 (V)

A outra possibilidade é o contrário: x = 32:

^5√(1) + ^5√(32) = 3 .:. 1 + 2 = 3 .:. 3 = 3 (V)

Espero que alguém traga uma solução mais completa.

Att.,
Pedro

Então, meu professor passou a questão e deu umas dicas... ele chamou 5^√(33-x) de y e 5^√x de z e daí partiu pra uma fatoração meio louca.

Ah sim.

Bom, uma possibilidade pode ser:

y + z = 3

--> 3 = 2 + 1 ou 3 = 1 + 2, logo, teremos, respectivamente y = 2, z =1 e y = 2 e z = 1.

Desfazendo a substituição:

^5√(33-x) = 2 .:. 33-x = 32 .:. x = 1
^5√(x) = 1 .:. x = 1

e

^5√(33-x) = 1 .:. 33-x = 1 .:. x = 32
^5√(x) = 2 .:. x = 32

Att.,
Pedro

Não, não foi assim já chutando valores.

Não foi chutando valores. Foi a decomposição do 3 em uma soma de dois termos.

É fácil ver que 1 e 32 são soluções, como o PedroCunha disse. Mas caso fosse uma questão discursiva, mesmo sabendo as soluções teria que realmente provar que não há outras soluções reais... vc pode fazer assim:
seja (33-x)^(1/5) = u , e x^(1/5) = v
então 33-x = u^5 , x = v^5 somando as duas: u^5 + v^5 = 33
Então temos o seguinte sistema:
u^5 + v^5 = 33
u + v = 3
A maneira menos trabalhosa de resolver esse tipo de sistema é utilizando polinômios simétricos , mesma ideia da questão do tópico abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t62444-olimpiada-do-espirito-santo-2005

Sn = a1S[n-1] - a2S[n-2]
S2 = a1S1 - a2S0
S2 = 3² - 2a2 = 9 -2a2 , como primeiro devemos achar a2 vou chama-lo de t para melhor notação. S2 = 9 -2t

S3 = a1S2 - a2S1
S3 = 3(9-2t) - 3t
S3 = 27 - 9t

S4 = a1S3 - a2S2
S4 = 3(27-9t) - t(9-2t)
S4 = 2t² -36t +81

S5 = a1S4 - a2S3
S5 = 3(2t²-36t + 81) - t(27-9t)
33 = 15t² -135t +243 , então temos a equação:

15t² -135t + 210 = 0 ∴ t² - 9t + 14 = 0
a2 =2 ou a2 = 7

Seja a equação x'² - Sx' + P = 0 ∴ x'² - a1x' + a2 = 0 , onde as raízes x'1 e x'2 são u e v.
Se a2 = 2:
x'² -3x' + 2 = 0 ,raízes (1,2)
substituindo: x = v^5 ∴ x = 1^5 = 1
ou x = v^5 ∴ x = 2^5 = 32

Se a2 = 7 , temos: x'² - 3x' + 7 = 0 que não possui raízes reais.

Logo S = { 1 , 32}

ps. Pedro,  y + z = 3 tem infinitas soluções , ex: y = -7 , z = 10  ; y = 4/3 , z = 5/3 , então isso tb é chute..

Muito obrigada! As vezes é mais fácil achar a solução do que provar que não existem outras, o que complica as discursivas.