Equação irracional

Estava tentando fazer a questão 27 desse simulado (sem gabarito):
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/589_SIMULADO_RETA_FINAL_LPM_%20ITA_2014.pdf




Eu tentei bastante essa questão, mas por todo caminho que eu tento, não sai nada de muito útil ou dá um polinômio de grau >3 (e não é uma equação biquadrática)... Enfim, alguém poderia me ajudar? Quando olhei pensei que seria uma equação irracional típica, mas não é...

Temos duas relações:

Seja x = 2 cos 4y

De modo semelhante, temos:

Com isso, nossa expressão vira:

Usando a relação (II):

Que vira:


Agora, fica a teu cargo resolver

Substituição genial, Carlos Adir!  Eu até tinha tentado substituição trigonométrica antes (mesmo porque aquele raiz de 3 dava uma sugestão...) mas não tinha funcionado. Bem, eu fiz, mas não sei se está certo. Eu cheguei a duas respostas possíveis para y ,(usando somente o intervalor [0,2*pi] e testei as duas. Uma deu x = 2, que não é solução. A outra é mais complicada pra checar se é solução, porque é 2cos(8/15) e cos (8/15) > 0 e, portanto não dá pra descartar logo (Em princípio, a solução poderia não ter nenhuma solução). Mas e aí, fiz certo?

Ps.: Como pensou nessa substituição trigonométrica? Experiência?

Vamos chamar y de 2θ. Pra não lidarmos com frações.
A principio, esqueci de dizer o domínio para que ocorra sempre tal relação.
Como √(x²) = |x|, se em determinado momento o valor do seno fosse negativo, o correto seria dizer que √(2sen²y)=|sen y|√2
O domínio que satisfaz é quando a raiz existe, logo, x ∈ [-2, +∞) a princípio.
Mas, temos que como a igualdade apresenta um valor de x na frente, isso indica que x sempre será positivo pois será a soma de radicais.
COntudo, temos também a parte que acompanha a raiz de 3:

O que faz com que o real domínio seja [0, 2]
Assim, poderiamos chamar theta de qualquer ângulo tal que cos(8θ)∈[0,1], ou seja, θ ∈[-pi/16, pi/16]

Vi um erro que por pressa não notei:
Na parte direita, na verdade é 4:

Assim a expressão vira:

Mas uma dúvida que ainda me surge que ainda não achei a resposta é quando o valor do ângulo pode ser negativo. Teriamos que o cosseno seria positivo, mas o seno não seria o que implicaria em uma expressão:

Cuja resposta equivale a aproximadamente 0,73, ou mais precisamente 2 cos(8pi/21).
Mas essa segunda resposta não é valida, não sei o porquê.

Caiu uma questao muito parecida com essa no vestibular do IME, discurssiva. Arriscaria que apenas um plágio com uma adição de um termo apenas.

Você pode usar a fórmula independente do sinal do seno. Mesmo porque seguindo esse raciocínio, se sen (x) < 0, teríamos
(1/2)cos(x) - (sqrt(3)*|sen(x)|)/2 = cos(8x)

Daí, a fórmula não pode mais ser transformada no seno de uma soma, porque ali na fórmula não é mais sen (x), mas |sen (x)|.

Não, não posso tratar de mesma maneira.
O primeiro caso, onde o ângulo está em [0, pi/16], a solução se procede como descrito acima, pois o cosseno e seno são positivos.

Isso lembrando que cos(-a)=cos(a)


O mesmo aplica quando o valor do ângulo está no intervalo [-pi/16, 0]:
E a expressão vira:


Em ambas as soluções, temos duas possibidades.
Descobri o porquê de a resposta onde aproximadamente dá 0,73:
Vamos chamar a expressão:


Mas podemos ver que, P nunca será negativo, e pegamos quando os mínimos ocorrem, isto é, quando P=0, S=√2.
Assim, teremos:

Portanto, essa resposta não é possível.

A única solução é x=2cos(8pi/27)

Desculpe, não entendi porque não podemos dar o mesmo tratamento quando o seno é negativo, que eu lembre essa fórmula não tem nenhuma restrição. Também, no segundo passo, você não deveria dividir os dois lados por 2? Você continuou sem o 2 que deveria estar dividindo cos(8x).

Não podemos dar o mesmo tratamento de considerar a expressão como positiva. Contudo, chegamos ao mesmo resultado pois no primeiro:

No segundo temos:

Em ambos, obtemos o mesmo resultando:

Conforme explicado acima.

Existe restrição sim, pois em um intervalo teremos o seno negativo, enquanto em outro teremos seno positivo. Por isso que há diferença.

O 2 que estava dividindo:

Estava errado, conforme explicado na segunda mensagem que coloquei: