Ponto médio

Sobre uma reta marcam-se os pontos M, A e B . Sendo O o ponto médio de AB , calcule k para que valha a seguinte relação: 
MA²+ MB ²= k .(MO ²+AO²)

1 hipótese: O ponto M se encontra fora do segmento AB:

(Faça um desenho com os 4 pontos e acompanhe comigo, lembrando que no meu o ponto M é tal que: MA < MB):

MB = MA + OA + OB = MA + 2OA (OA = OB)

MO = MA + OA

Passando essas duas identidades para a igualdade:


MA² + (MA + 2OA)² = k[(MA+OA)² + OA²)]

MA² + MA² + 4OA*MA + 4OA² = k(MA² + 2MA*OA + OA² + OA²)

2MA² + 4OA*MA + 4OA² = k(MA² + 2MA*OA + 2OA²)

Daqui deduz-se que: k = 2.

Deixo aqui para você demonstrar o segundo caso, em que o ponto M é interior ao segmento AB. A única coisa que mudará é o sinal.


Se não errei nos cálculos, então é isso.

Obrigada , eu fiz com M entre A e B mas considerei MO = OM

Ficou assim:

A_______O____M____B

Temos que:


AB= AO+OM+MB
OB=OM+MB
AO=OB

Resolvendo a equação:

MA²+MB²=k.(MO²+AO²)
(AO²+OM²)+(AO-OM)²= k.(MO²+AO²)

AO²+2AO.OM+OM² +AO²-2AO.OM+OM²=  k.(MO²+AO²)
2AO²+2OM²=  k.(MO²+AO²)

2 ( AO²+OM²)
____________ = k                
   (MO²+AO²)


k = 2

Fernanda Brasil escreveu:Obrigada , eu fiz com M entre A e B mas considerei MO = OM

Ficou assim:

A_______O____M____B

Temos que:


AB= AO+OM+MB
OB=OM+MB
AO=OB

Resolvendo a equação:

MA²+MB²=k.(MO²+AO²)
(AO²+OM²)+(AO-OM)²= k.(MO²+AO²)

AO²+2AO.OM+OM² +AO²-2AO.OM+OM²=  k.(MO²+AO²)
2AO²+2OM²=  k.(MO²+AO²)

2 ( AO²+OM²)
____________ = k                
   (MO²+AO²)


k = 2

Esse seria apenas um caso particular em que os pontos O e M coincidem, porém o exercício não especifica a posição do ponto M, e como o mesmo exige demonstração temos de ser rigorosos, ou seja, provar para todos os casos possíveis. Em um exercício de prova não tem jeito.

Em um exercício de concurso eu nem vou fazer porque não vou ficar perdendo tempo mudando M de lugar mas nenhum concurso que eu fiz ou farei pede ''prove'' , fiz essa questão pois estava na minha apostila.

Obrigada!