Desafios F.A. 7

Dois colégios X e Y irão realizar um evento esportivo com a participação exclusiva de seus alunos. Considere que, em 2013:
- 100 atletas participaram do evento;
- do total de atletas do colégio X, 1/7 disputaram jogos de futebol;
- do total de atletas do colégio Y, 3/16 disputaram provas de natação.
Com base no que foi dito, qual o total de atletas do colégio X que participaram do evento?

Spoiler:

Anderson_007 escreveu:Dois colégios X e Y irão realizar um evento esportivo com a participação exclusiva de seus alunos. Considere que, em 2013:
- 100 atletas participaram do evento;
- do total de atletas do colégio X, 1/7 disputaram jogos de futebol;
- do total de atletas do colégio Y, 3/16 disputaram provas de natação.
Com base no que foi dito, qual o total de atletas do colégio X que participaram do evento?

Spoiler:

Boa tarde, Anderson.

Pelas informações constantes do texto da questão, o total de atletas X deve ser múltiplo de 7, enquanto que o total de atletas Y deve ser múltiplo de 16.

7u + 16v = 100 → uma equação do tipo diofantina...

7u = 100 - 16v
u = (100 - 16v)/7 ...... (I)

Iremos separar os quocientes inteiros dos fracionários, ao dividir 100 e 16 por 7:
u = (14 + 2/7) - (2v + 2v/7)
u = 14 - 2 + 2/7 - 2v/7
u = 12 + (2 - 2v)/7
u = 12 + 2(1 - v)/7

Como "u" e "v" devem ser inteiros, obviamente também (1-v)/7 deverá sê-lo.
Faremos, então, essa fração igual a uma nova incógnita; digamos a "m":
(1-v)/7 = m
1-v = 7m
v = 1-7m ................ (II)

Substituindo (II) em (I), vem:
u = (100 - 16v)/7
u = [100 - 16(1-7m)]/7
u = (100 - 16 + 112m)/7
u = (84 + 112m)/7
u = 12-16m

Ora, "u" e "v", além de inteiros, deverão também ser positivos:
u → 12-16m > 0 → 12 > 16m → 16m < 12 → m < 12/16 → m≥0
v → 1-7m > 0 → 1 > 7m → 7m < 1 → m < 1/7 → m≤0

A intersecção dos dois valores obtidos para "m" é, pois:
m=0

Temos, assim, apenas um par possível para "u" e "v":
u = 12-16m → v = 12-16*0 → v=12
v = 1-7m → u = 1-7*0 → u=1

Finalmente, fica:
X = 7u → x = 7*12 → x=84
Y = 16v → y = 16*1 → y=16

Outro caminho, seria:

X = _7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
Y = 93, 86, 79, 72, 65, 58, 51, 44, 37, 30, 23, 16, _9, _2

E, a seguir destacar, nessa lista, os valores de Y que fossem múltiplos de 16, e junto a esse, o correspondente valor de X:

X = _7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
Y = 93, 86, 79, 72, 65, 58, 51, 44, 37, 30, 23, 16, _9, _2

Note que a questão tem somente uma solução, a que foi destacada.





Um abraço.

Muito bom ivomilton, a resolução mais perfeita que já presenciei para tal questão. Realmente muito bem detalhada e algebricamente perfeita!