Trigonometria - Fuvest 96
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Trigonometria - Fuvest 96
por jesusgabe Sex 01 Mar 2013, 21:57
Considere a função:
f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,π].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação
y=8/5?
Explique sua resposta.
Não consigo resolver o item B!!!
f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,π].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação
y=8/5?
Explique sua resposta.
Não consigo resolver o item B!!!
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Re: Trigonometria - Fuvest 96
por Luck Sex 01 Mar 2013, 23:12
f(x) = (1/2) sen2x + (1/2) (senx - sen5x)
f(x) = (1/2)sen2x - sen2xcos3x
f(x) = sen2x( 1/2 - cos3x)
cos3x = 1/2
3x = pi/3 + 2kpi --> x = pi/9 + 2kpi/3 , k ∈ Z
ou
3x = -pi/3 + 2kpi --> x = -pi/9 + 2kpi
se sen2x = 1 e cos3x = -1 ( mesmo isso nao sendo possível),o maior valor de f seria:
f(x) = 1(1/2 - (-1) ) = 3/2
8/5 > 3/2, entao f nunca intercepta a reta y = 8/5.
f(x) = (1/2)sen2x - sen2xcos3x
f(x) = sen2x( 1/2 - cos3x)
cos3x = 1/2
3x = pi/3 + 2kpi --> x = pi/9 + 2kpi/3 , k ∈ Z
ou
3x = -pi/3 + 2kpi --> x = -pi/9 + 2kpi
se sen2x = 1 e cos3x = -1 ( mesmo isso nao sendo possível),o maior valor de f seria:
f(x) = 1(1/2 - (-1) ) = 3/2
8/5 > 3/2, entao f nunca intercepta a reta y = 8/5.
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Re: Trigonometria - Fuvest 96
por jesusgabe Sex 01 Mar 2013, 23:26
tentei o item B da seguinte maneira:
f (x) = senx.cosx + (1/2).(senx - sen5x)
f (x) = (2.senx.cosx + senx - sen5x)/2
f (x) = (sen2x + senx - sen5x)/2
pode-se dizer então que a função terá valor máximo quando x = π/2??? pois daí f (π/2) = (sen2.(π/2) + sen (π/2) - sen5.(π/2))/2 = (0 + 1 + 1)/2 = 1
e daí jamais interceptaria o gráfico de y = 8/5.
grato!!!
f (x) = senx.cosx + (1/2).(senx - sen5x)
f (x) = (2.senx.cosx + senx - sen5x)/2
f (x) = (sen2x + senx - sen5x)/2
pode-se dizer então que a função terá valor máximo quando x = π/2??? pois daí f (π/2) = (sen2.(π/2) + sen (π/2) - sen5.(π/2))/2 = (0 + 1 + 1)/2 = 1
e daí jamais interceptaria o gráfico de y = 8/5.
grato!!!
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Re: Trigonometria - Fuvest 96
por Luck Sex 01 Mar 2013, 23:39
jesusgabe escreveu:tentei o item B da seguinte maneira:
f (x) = senx.cosx + (1/2).(senx - sen5x)
f (x) = (2.senx.cosx + senx - sen5x)/2
f (x) = (sen2x + senx - sen5x)/2
pode-se dizer então que a função terá valor máximo quando x = π/2??? pois daí f (π/2) = (sen2.(π/2) + sen (π/2) - sen5.(π/2))/2 = (0 + 1 + 1)/2 = 1
e daí jamais interceptaria o gráfico de y = 8/5.
grato!!!
O raciocínio é esse mesmo, mas no caso sen(5π/2)) = sen( 2π + π/2) = sen(π/2) = 1 : ( 0+1 - 1)/2 = 0
por isso vale supor que sen2x = 1, senx = 1 , e sen5x = -1 ( mesmo que na prática esses valores sao impossíveis para o ângulo x mas se com esses valores f ainda for menor 8/5 é garantido que nunca intercepta). (1 + 1 -(-1) ) / 2 = 3/2 < 8/5
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