Trigonometria

por mahriana Sáb 16 Fev 2013, 17:15

Sendo $\alpha$ e $\beta$ os angulos agudos de um triangulo retangulo, e sabendo que $\sin ^{2}2\beta -2cos2\beta=0$ então $\sin{\alpha}$ é igual a :

$a) \frac{\sqrt2}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, b) \frac{\sqrt[4]{2}}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\,\,\,\,\,\, d)\frac{\sqrt[4]{8}}{4}\,\,\,\,\,\, e)zero$

por Luck Sáb 16 Fev 2013, 18:02

senα = cosβ

sen²2β - 2cos2β = 0
(2senβcosβ)² - 2(2cos²β - 1) = 0
4sen²βcos²β - 4cos²β + 2 = 0
4cos²β(sen²β - 1) = -2
4cos^4β = 2
cos^4 β = 1/2
cosβ = 1/2^(1/4)
racionalizando:
cosβ = 8^(1/4) / 2 letra c

por **Elcioschin** Sáb 16 Fev 2013, 18:17

sen²(2B) - 2.cos(2B) = 0 ----> [1 - cos²(2B)] - 2.cos(2B) = 0 ----> cos²(2B) + 2.cos(2B) - 1 = 0

Raízes ----> cos(2B) = - 1 ± \/2

cos(2B)= -1 ± \/2 ----> 2.cos²B - 1 = - 1 ± \/2 ----> cos²B = ±\/2/2 ----> O sinal negativo não serve ----> cos²B = \/2/2

cos²B = 2*\/2/4 ---> cos²B = \/8/4 ----> cosB = \/(\/8 )/2 ---> cosB = 4\/8/2

senA = cosB ----> senA = 4\/8/2 ----> Alternativa C ----> 4 significa índice da raiz

por **JOAO [ITA]** Sáb 16 Fev 2013, 19:55

Um outro método usado para chegar até cos(2B) = -1 ± V2 é o seguinte:

Através da relação sen²x + cos²x = 1, podemos montar o seguinte sistema de equações:
sen²(2β) - 2.cos(2β) = 0
sen²(2β) + cos²(2β) = 1

Fazendo a mudança de variável sen(2β) = u e cos(2β) = v, teremos:

u² - 2.v = 0 (eq1)
u² + v² = 1 (eq2)

(eq1): u² = 2.v
(eq2): u² = 1 - v²

Assim:
2.v = 1 - v² <=> v² + 2.v - 1 = 0 <=>v = -1 ± V2

Daí, prossegue como o Elcioschin fez.

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