Limites fundamentais (5)

por **Euclides** Sáb 02 Fev 2013, 01:39

Existem tres limites especiais, cuja demonstrações não são triviais. Esses limites são chamados de Fundamentais e podem ser usados sem necessidade de prová-los. Como se fossem "fórmulas".

Limite fundamental 1

$\dpi{120} \boxed{\lim_{x\to0}\frac{sen x}{x}=1}$

algumas aplicações:

$\\a)\;\lim_{x\to0}\frac{sen(2x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2.sen(2x)}{2x}=2.\lim_{x\to0}\frac{sen(2x)}{2x} =2.\lim_{a\to0}\frac{sen(a)}{a}=2\times 1$

$\dpi{120} \\b)\;\lim_{x\to0}\frac{sen(mx)}{sen(kx)}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{sen(mx)}{x}}{\frac{sen(kx)}{x}}=\frac{\frac{\lim_{x\to 0}sen(mx)}{x}}{\frac{\lim_{x\to0}sen(kx)}{x}}= \frac{m}{k}$

Limite fundamental 2

$\dpi{120} \\\boxed{\lim_{x\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x=e\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e}$

exemplo de aplicação:

$\dpi{120} \\\lim_{x\to\infty}\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^x\;\;\;\;fazendo\;\;\frac{3}{x}=\frac{1}{u}\\\\\lim_{x\to\infty}\left ( 1+\frac{3}{x} \right )^x=\lim_{u\to\infty}\left [\left ( 1+\frac{1}{u} \right )^u \right ]^3=e^3$

Limite fundamental 3

$\dpi{120} \\\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a),\;\;\;\;a>0,\;\;a\neq1}$

um exemplo

$\dpi{120} \\\lim_{x\to 0}\frac{6^x-4^x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{4^x\left [ \left (\frac{3}{2} \right )^x-1 \right ]}{x}\lim_{x\to 0}4^x.\lim_{x\to 0}\frac{ \left (\frac{3}{2} \right )^x-1 }{x} =1\times \ln\left (\frac{3}{2} \right )$

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