Limites Fundamentais - 01

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 26 Fev 2020, 14:49

Tentei usar o Latex mas deu errado.Sejam as funções g(x) = sen (x) e h(x) = sen (x)
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x x - sen(x)
Calcule,sem utilizar L'Hopital,o limite:

Lim g(x)^h(x) quando x tende a zero.

Não tenho gabarito,agradeço a atenção!

por **fantecele** Qua 26 Fev 2020, 22:01

$\small \\\lim_{x \to 0} \left ( \frac{sen(x)}{x} \right )^{\frac{sen(x)}{x-sen(x)}}=\lim_{x \to 0} \left ( \frac{sen(x)}{x} \right )^{\frac{\frac{sen(x)}{x}}{1-\frac{sen(x)}{x}}}$

Fazendo uma substituição, prove que realmente u tende a 0:

$\\1-\frac{sen(x)}{x}=u\\\\x\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0$

O limite acima vai se transformar em, e manipulando:

$\\\lim_{u \to 0}=(1-u)^{\frac{1-u}{u}}=\lim_{u \to 0}=(1-u)^{\frac{1}{u}-1}$

Fazendo v = - u, perceba que u → 0 ⇒ v → 0:

$\tiny \\\lim_{u \to 0}=(1-u)^{\frac{1}{u}-1}=\lim_{v \to 0}=(1+v)^{-\frac{1}{v}-1}=\lim_{v \to 0}\frac{1}{(1+v)^{\frac{1}{v}+1}}=\lim_{v \to 0}\frac{1}{(1+v)^{\frac{1}{v}}}.\frac{1}{(1+v)}=\frac{1}{e}$

Perceba que o limite de (1+v)^(1/v) é o mesmo que o limite exponencial fundamental.

Acho que é isso, deixei uma coisa pra você tentar mostrar kkkk, mas não é muito difícil não.

por **fantecele** Qua 26 Fev 2020, 22:04

Aliás, você pegou essa questão ai de onde?

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 26 Fev 2020, 22:38

Agradeço a solução!! Normalmente,os exercícios que vi dava pra resolver utilizando esses fatos(Não vi essa substituição):
1) Sen²x + cos²x = 1.
2) Transformar soma/diferença em produto.
3) Fazer substituição ( Essa eu tentei mas pensei que aí não dava porque a expressão a ser trocada por 'u' era mais complicada. )
4) sen(a+b) // cos(a+b) // tg(a+b).
5) Tentar fazer aparecer os limites fundamentais.

U tende a zero por que sen x / x tende a 1 quando x -> 0.Daí, u tende a 1 - 1 = 0.Certo ?

Procurando umas listas:http://univasf.edu.br/~pedro.macario/Limites_Fundamentais_Defini%C3%A7%C3%A3o_e_Exerc%C3%ADcios.pdf

por **fantecele** Qua 26 Fev 2020, 22:51

"U tende a zero por que sen x / x tende a 1 quando x -> 0.Daí, u tende a 1 - 1 = 0.Certo ?"
Isso ai mesmo, a ideia era provar esse (sen x)/x ser igual a 1, pois a ideia por trás é interessante, mas tá valendo kkkk

"Procurando umas"
Aaa sim, é por que um amigo que tá no IME me mandou essa questão, e ele me mandou hj mesmo, ai pensei que você estava lá também kkk, foi muita coincidência.

É bom fazer muito exercício pra pegar as "ideias", esse exercício tava muito na "cara" um limite fundamental exponencial (eu acho), daí já fui manipulando pra tentar chegar em um.

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 26 Fev 2020, 23:03

Se utilizar o círculo trigonométrico dá pra resolver : Fazer relação da área do triângulo menor, do setor circular e do triângulo maior.Essa é a mais ' comum ' talvez tenha outras usando desigualdades mas deve dar só conta braba.

Que engraçado kkkk,só os limites correndo solto.Não fiz muitos exercícios ainda,talvez em livros tenham mais,vou procurar!