Limites Fundamentais - 02

por **Kayo Emanuel Salvino** Qui 27 Fev 2020, 20:57

Tentei fazer esse limite mas deu errado! Calcule,sem utilizar L'Hôpital,o limite:
\LARGE \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{6}} \bigl(\begin{smallmatrix}
\frac{sen(x+5\pi/6)}{cotg^{3}x-3cotgx}
\end{smallmatrix}\bigr)

Tentei arrumar a expressão : sen(x+π/6)*tg³x/(1-tg²x) --> sen(x+π/6)*tg³x/[(tg 45 + tg x)(tg 45 - tg x)] --> sen(x+π/6)*tg³x/[sen(45+x)*sen(45-x)/(cos45*cos x)²]

sen(45+x)*sen(45-x) --> É um produto de seno, daí pensei em cos 90 - cos 2x.
cos45*cos x --> produto de cosseno, daí pensei cos 90 + cos 2x.

Acho que só deu errado Shocked

Agradeço a atenção!!!

por **fantecele** Qui 27 Fev 2020, 22:39

Primeiro perceba que:

$\\sen\left (x+\frac{5\pi}{6} \right )=sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )$

Daí:

$\\\frac{sen\left (x+\frac{5\pi}{6} \right )}{cotg^3x-3cotgx}=\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )}{cotg^3x-3cotgx}$

Agora vamos manipular a expressão:

$\tiny \\\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )}{cotg^3(x)-3cotg(x)}\\\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )}{cotg(x).(cotg(x)-\sqrt{3}).(cotg(x)+\sqrt{3})}\\\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )}{cotg(x).\left (\frac{cos(x)-sen(x).\sqrt{3}}{sen(x)} \right ).(cotg(x)+\sqrt{3})}\\\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right ).sen(x)}{2.cotg(x).\left (cos(x).\frac{1}{2}-sen(x).\frac{\sqrt{3}}{2} \right ).(cotg(x)+\sqrt{3})}\\\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right ).sen(x)}{2.cotg(x).sen\left ( \frac{\pi}{6}-x \right ).(cotg(x)+\sqrt{3})}\\\frac{sen(x)}{2.cotg(x).(cotg(x)+\sqrt{3})}$

Agora aplicando o limite iremos chegar em:

$\small \\\frac{sen\left (\frac{\pi}{6} \right )}{2.cotg\left (\frac{\pi}{6} \right ).(cotg\left (\frac{\pi}{6} \right )+\sqrt{3})}=\frac{\frac{1}{2}}{2.\sqrt{3}.(\sqrt{3}+\sqrt{3})}=\frac{1}{24}$