Área do quadrado

por **Elcioschin** Sáb 18 maio 2024, 21:59

Na figura abaixo, qual é a área do quadrado ADEF?

por pedro de broglie Sáb 18 maio 2024, 23:12

x é o lado do quadrado

(3 - x)/x = x/(4 - x) ⇒7x = 12 ⇒x = 12/7

S = x² = 144/49?
fiz essas contas me baseando no fato de que
os dois triângulos são semelhantes por terem os três ângulos iguais

por **Elcioschin** Dom 19 maio 2024, 11:47

Corretíssima!

Vamos agora fazer uma pequena alteração na figura quanto à posição do quadrado. Prove que área deste novo quadrado vale S' = 3600/1369:

por pedro de broglie Dom 19 maio 2024, 13:17

Elcio não consegui
eu só consegui perceber que os triângulos da figura são retângulos

por **Giovana Martins** Dom 19 maio 2024, 14:05

Seja h a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC (corresponde a altura baixada do vértice A em relação ao lado BC). Pelas relações métricas no triângulo retângulo:

h x BC = AB x AC, tal que BC = 5, pois BC corresponde à hipotenusa do triângulo ABC. Assim:

h x 5 = 3 x 4 ∴ h = 2,4

Os triângulos ADG e ABC são semelhantes pelo critério A.A.A.. Seja M o ponto de intersecção da altura h com o segmento DG.

Deste modo, sendo L o lado do quadrado:

DG/BC = AM/h

L/5 = (h - L)/h → 2,4L = 12 - 5L → L = 60/37

A área do quadrado é dada por L² = (60/37)² = 3600/1369.

por **Elcioschin** Dom 19 maio 2024, 18:12

Outro modo:

Seja A^CB = θ ---> D^GA = B^DE = θ e seja x o lado do quadrado

BC² - AB² + AC² ---> BE² = 3² + 4² ---> BE = 5

∆ BED ~ ∆ BÂC ---> BE/DE = AB/AC ---> BE/x = 3/4 ---> BE = 3.x/4

∆ GFC ~ ∆ BÂC ---> CF/FG = AB/AC ---> x/BE = 3/4 ---> BE = 4.x/3

BE + EF + CF = BC ---> 3.x/4 + x + 4.x/3 = 5 ---> x = 60/37

S' = x² ---> S' = (60/37)² ---> S' = 3 600/1 369

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