quadrado

Quadrado está no primeiro quadrante. Pontos e estão nas linhas , e , respectivamente. Alguém pode me explicar como um quadrado pode ser formado com retas que passam por esses pontos? Alguem pode desenhar um quadrado que exemplifique esse enunciado?

Fiz uma tentativa de solução desta questão :



- reta que passa por (3,0) com coeficiente angular -> a :

y = a*(x-3)

y = ax *- 3a (1)

- reta que passa por (5,0) com coeficiente angular -> a ( retas paralelas ):

y = a*(x - 5)

y = ax - 5a (2)


- reta que passa por (7,0) com coeficienter angular -> - 1/a ( retas perpendiculares ):

y = ( - 1/a )*(x - 7 )

y = ( - 1/a )*x + ( 7/ a ) (3)


- reta que passa por (13,0) com coeficiente angular -> - 1/a :

y = ( - 1/a )*( x - 13 )

y = ( - 1/a)*x + ( 13/a ) (4)


ponto P -> interseção de (1) com (3):

ax - 3a = ( - 1/a)*x + (7/a)

x = ( 7 + 3a² )/( a² + 1 )

y = ( 4a )/( a² + 1 )

P [ ( 7+3a²)/(a²+1) ; ( 4a/( a² + 1) ]


ponto S -> interseção de (1) com (4):

ax - 3a = ( - 1/a)*x + ( 13/a )

x = ( 13 + 3a² )/( a² + 1 )

y = ( 10a / ( a² + 1 )

S [ ( 13+3a² )/(a² + 1 ) ; ( 10a / a² + 1 ) ]


- ponto Q -> interseção de (2) com (3):

ax - 5a = ( - 1/a )*x + ( 7/a )

x = ( 7 + 5a² )/( a² + 1 )

y = ( 2a )/( a² + 1 )

Q [ ( 7 + 5a² )/( a² + 1 ) ; ( 2a)/(a² + 1 ) ]


- distância SP:

d²(S,P) = [ 6/( a² + 1 ) ]² + [ 6a/(a² + 1 ) ]²


- distância PQ:

d²(P,Q) = [ 2a²/(a²+1) ]² + [ ( - 2a/(a²+1) ]²


- para que o quadrilátero seja um quadrado devemos ter:

d²(S,P) = d²(P,Q)


[ 6/( a² + 1 ) ]² + [ 6a/(a² + 1 ) ]² = [ 2a²/(a²+1) ]² + [ ( - 2a/(a²+1) ]²

4a^4 - 32a² - 36 = 0

y = a²

y² - 8y - 9 = 0

raízes: y = 9 ou y = - 1

para y = 9 -> 9 = a² -> a = 3

para y = - 1 -> - 1 = a² ( não convém )

Caro amigo José Carlos

Parabéns pela excelente (e trabalhosa) solução

Olá amigo Elcio, obrigado pela atenção...