área destacada

Na figura ao lado, os semicírculos têm diâmetros AB, AC e BC e são tangentes dois a dois. Sabendo que CD ┴AB, determine a razão entre a área da região destacada e a área do círculo cujo raio é CD.

resposta:1/4

Considerando CD a perpendicular ao diâmetro.
Chame de R1 o raio do semicírculo de diâmetro AC.
Chama de R2 o raio do semicírculo de diâmetro BC.

1) Área do semicírculo de diâmetro AC:
S1 = ∏.(R1)²/2
2) Área do semicírculo de diâmetro BC:
S2 = ∏.(R2)²/2

Chame de S3 a área do semicírculo de diâmetro AB.
S3 = ∏.(R1 + R2)²/2

A área da figura hachurada é igual a : S3 - S2 - S1

S = R1.R2.∏

Calculando agora a área do círculo de raio CD. Veja que CD é a altura de um triângulo retângulo inscrito em um semicírculo.
Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo (h²=m.n), temos:
CD² = 2.R1.2R2 --> CD² = 4.R1.R2 --> CD = 2V(R1.R2) , que corresponde ao raio do círculo de raio CD.

Calculando a área deste círculo, temos:
S = ∏.{2V(R1.R2)}² = 4.R1.R2.∏

Finalmente, a razão pedida é:
r = (R1.R2.∏)/(4.R1.R2.∏) --> r = 1/4

Obg raimundo

:bball:

Raimundo, quando eu fui achar a area sombreada fazendo como vc fez ali nao consegui chegar no valor que vc chegou fazendo a S3-S2-S1, eu abri a área3 mas nao consegui.

Jessica onde tem S3=∏(2R1+R2)²/2 leia-se S3=∏(2R1+2R2)²/2

ok, obg raimundo!