Área destacada

por dani1801 Seg 01 Ago 2016, 16:28

Na figura a seguir, os semicírculos tem diâmetros AB, AC e CB, e são tangentes dois a dois. Sabendo que CD é perpendicular à AB, determine a razão entre a área da região destacada e a área do círculo cujo raio é CD.

Área destacada 2dqvgq8

Resp: 1/4

por **Claudir** Seg 01 Ago 2016, 17:23

A1 = 1/2.π.(AB/2)² - 1/2.π.[(AC/2)² + (CB/2)²] = (π/8 ).(AB² - AC² - BC²)

Ligando D aos pontos A e B você formará um triângulo retângulo de catetos DA e DB e hipotenusa AB.

Mas:
DA² = CD² + AC²
DB² = CD² + BC²

Além disso:
AB² = DA² + DB² = 2CD² + AC² + BC² --> CD² = (AB² - AC² - BC²)/2

A2 = π.CD² = (π/2).(AB² - AC² - BC²)

A1/A2 = [(π/8 ).(AB² - AC² - BC²)]/[(π/2).(AB² - AC² - BC²)] = 1/4