Área Destacada

por Oliveirasmat23 Qua 29 Set 2021, 00:02

Seja X um ponto situado no interior do triângulo equilátero ABC, com a medida de seus lados sendo 4. Considere os pontos P, Q e R tais que XP, XQ e XR sejam perpendiculares aos lados AB, AC e BC, respesctivamente. São desenhadas diferentes 9 semicircunferências AB, AP, BP, AC, AQ, CQ, BC, BR, e CR. Determine a área da região destacada:

a) 24π
b) 8π
c) 6π
d) 4π
e) 2π

Esqueci de colocar o gabarito desta questão.

GABARITO:

por **Elcioschin** Sáb 09 Out 2021, 19:40

Eis o bizu:

A questão vale para qualquer posição do ponto X
Vou escolher P como sendo o centro do círculo circunscrito ao triângulo, para facilitar

Neste caso ---> PX = QX = RX e AP = BP = AQ = CQ = BR = CR = 2

Analisando a figura cinza sobre o lado AB:

Note que, se deslocarmos o semicírculo cinza AP para o semicírculo branco BP, eles coincidem. Logo a figura cinza passa a ser o semicírculo maior AB, de raio r = 2

S = pi.r²/2 ---> S = 2.pi

Fazendo o mesmo para os lados AC e BC:

Área total cinza = 3.S = 6.pi

por Oliveirasmat23 Dom 10 Out 2021, 11:41

Grato pela explicação.

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