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Mensagem por Lisandra13 Dom 05 Jan 2014, 12:21

Na figura abaixo temos dois semicírculos de diâmetro PS, de medida 4 cm, e QR, paralelo a PS. Além disso, o semicírculo menor é tangente a PS em O. Então podemos concluir que a área destacada na figura mede:

(UNILUS) Área  Destacada 2pslsva

a) (2∏-2) cm²
b) 2∏ cm²
c) 4,8 cm²
d) (4∏ - 2)cm²
e) 8,3 cm²

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Mensagem por PedroCunha Dom 05 Jan 2014, 12:53

A primeira coisa que devemos fazer é descobrir o valor do raio da semi-circunferência menor.

Veja o triângulo ORQ. Sabemos que ele é reto pois todo triângulo inscrito em uma semi-circunferência é reto.

Agora, seus catetos são OQ e OR e sua hipotenusa é QR. Mas veja que OQ = OR = OP, pois todos eles são raios da semi-circunferência maior, logo OQ = OQ = 2cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

(QR)² = 2² + 2²
QR = √8
QR = 2√2


Logo, o raio da semi-circunferência menor é √2.


Veja que partindo de O e traçando um segmento de O até Q e outro de O até R, delimitamos um setor circular de 90° (O mede 90°).

Agora observe que a área do pedaço desse setor que está acima do segmento QR é dada pela seguinte relação:

S_{setor} - S_{triângulo ORQ}

Vamos encontrar essa área:

(pi * r²) * x/360° - (b*h)/2
(pi * 2²) * 90°/360° - (2*2)/2
4pi/4 - 2
pi - 2


Agora, encontrando a área da semi-circunferência que passa ORQ, sabendo que seu raio é √2.


S = (pi * r²)/2
S = (pi * 2)/2
S = pi


Por fim, a área pedida é (pi-2) + pi = 2pi - 2 cm²


É isso.


Qualquer dúvida é só falar, Lisandra.


Abraços,
Pedro
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Mensagem por Lisandra13 Dom 05 Jan 2014, 16:41

Pedro,

Eu acho que NUNCA ia ter esse "insight" de ver um triângulo retângulo dentro da semicircunferência. Fiquei maior tempão tentando visualizar alguma coisa e nada!
Como eu sempre digo: Fera é Fera. Não adianta.

Obrigada por sempre me socorrer. Sério. Do fundo do coração: muito obrigada.
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Mensagem por PedroCunha Dom 05 Jan 2014, 17:33

É só prática, Lisandra. É tanto tempo fazendo exercícios de matemática que você vai logo procurando coisas dentro de outras coisas, haha. 

Todos somos feras. "Quem acredita, sempre alcança".

Como é dito no nosso querido Fórum, "O conhecimento é patrimônio de todos".


Precisando é só falar.


Abraços,
Pedro
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Mensagem por Lisandra13 Dom 05 Jan 2014, 17:39

Tu é a pessoa mais maravilhosa do mundoooooooooo! Sou tua fã. Acho que foi vendo tu amar tanto a matemática que eu deixei de odiá-la e tentar entendê-la. Valeu pê. Foi uma lição de vida.
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Mensagem por PedroCunha Dom 05 Jan 2014, 17:46

Isso aí. A pior coisa que alguém pode fazer é odiar uma matéria. Se odiar, não vai pra frente mesmo. Nem adianta. Aquele negócio de 'ah, vou estudar porque amanhã tem prova e pronto', não funciona.

O interessante da Matemática, pelo menos para mim, é a variedade de desafios. Todos os dias, sem exceção, aprendo algo novo aqui ou no TutorBrasil. É impressionante. 

Mas é isso aí. Fico muito feliz que você não odeie a Matemática mais. 'Tamo' junto, Lisandra.

Abraços.
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