sistema linear

por jessicajessica Seg 15 Out 2012, 19:18

Discutir o seguinte sistema:

$\begin{matrix} px &-y &+2z=0 \\ x& 0y &+pz=p \\ 3x&+2y &+pz=5 \end{matrix}$

resposta: sistema possível e determinado: p ≠1 e p ≠-2
sistema possível e indeterminado : p=1
sistema impossível p=-2

por danjr5 Seg 15 Out 2012, 19:52

$\begin{bmatrix} p & - 1 & 2 & | & 0 \\ 1 & 0 & p & | & p \\ 3 & 2 & p & | & 5 \end{bmatrix}$

Multiplicando a 2ª linha por - p e somando a 1ª linha, isto é, $\boxed{- p \cdot L_2 + L_1}$ temos:

$\begin{bmatrix} p & - 1 & 2 & | & 0 \\\\ 0 & - 1 & (2 - p^2) & | & - p^2 \\\\ 3 & 2 & p & | & 5 \end{bmatrix}$

Agora, fazendo $\boxed{- 3 \cdot L_1 + p \cdot L_3}$ teremos:

$\begin{bmatrix} p & - 1 & 2 & | & 0 \\\\ 0 & - 1 & (2 - p^2) & | & - p^2 \\\\ 0 & (2p + 3) & (p^2 - 6) & | & 5p \end{bmatrix}$

E, para finalizar... $\boxed{(2p + 3) \cdot L_2 + L_3}$

$\begin{bmatrix} p & - 1 & 2 & | & 0 \\\\ 0 & - 1 & (2 - p^2) & | & - p^2 \\\\ 0 & 0 & {\color{Red} (- 2p^3 - 2p^2 + 4p)} & | & {\color{Blue} (- 2p^3 - 3p^2 + 5p)} \end{bmatrix} \\\\\\ {\color{Red} \begin{cases} (2 - p^2)(2p + 3) + p^2 - 6 = \\ 4p + 6 - 2p^3 - 3p^2 + p^2 - 6 \\ - 2p^3 - 2p^2 + 4p\end{cases}} \\\\\\ {\color{Blue} \begin{cases} - p^2(2p + 3) + 5p = \\ - 2p^3 - 3p^2 + 5p\end{cases}}$

Jessica,
consegue concluir o exercício através da $L_3$ ??

Até breve!!

por jessicajessica Seg 15 Out 2012, 20:13

Acho que sei, agora eu encontro o valor de p e depois substituo e no lugar da incógnita e resolvo o sistema todo é isso?

por danjr5 Ter 16 Out 2012, 20:56

Não necessariamente, veja:

A terceira linha resume-se a $(- 2p^3 - 2p^2 + 4p)z = - 2p^3 - 3p^2 + 5p \Rightarrow \boxed{z = \frac{(- 2p^3 - 3p^2 + 5p)}{(- 2p^3 - 2p^2 + 4p)}}$ .

$\blacklozenge$ Possível e determinado: $\boxed{\frac{0}{t}}$ , t número qualquer diferente de zero. Então, façamos o denominador de "z" deiferente de zero.

$\\ - 2p^3 - 2p^2 + 4p = 0 \\ - 2p(p^2 + p - 2) = 0 \\ - 2p(p + 2)(p - 1) = 0 \\ S = \left \{- 2, 0, 1 \right \}$
Mas, p não pode ser zero, daí $\boxed{\boxed{p \neq 1}}$ e $\boxed{\boxed{p \neq - 2}}$

$\blacklozenge$ Indeterminado: $\boxed{\frac{0}{0}}$

Numerador: zero
$\\ - 2p^3 - 3p^2 + 5p = 0 \\ - p(2p^2 + 3p - 5) = 0 \\ - p(2p^2 - 2p + 5p - 5) = 0 \\ - p[2p(p - 1) + 5(p - 1)] = 0 \\ - p(2p + 5)(p - 1) = 0 \\ S = \left \{ - \frac{5}{2}, 0, 1 \right \}$

Denominador: zero
$\\ - 2p^3 - 2p^2 + 4p = 0 \\ S = \left \{ - 2, 0, 1 \right \}$

Note que quando $\boxed{\boxed{p = 0}}$ e $\boxed{\boxed{p = 1}}$ o numerador e o denominador zeram. Quando $p = - \frac{5}{2}$ apenas o numerador é zerado o mesmo ocorre quando $p = 2$ .

Tente concluir quando o sistema é impossível!!

Até breve.