Medida da Corda na Circunferência ?
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Medida da Corda na Circunferência ?
por Queiroga Sáb 13 Out 2012, 20:46
Questão 27 (CEFET-MG)
Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos ABD e
CBD são iguais. A medida da corda BD é:
a) 2√3 + 1
b)(9√5)/5
c) 3√2
d) 2 + √5
Gabarito: C)
Ae galera, me ajudem ! Por que a corda BD vale 3√2 ? Tem alguma fórmula ? Porque eu tentei a teoria da Bissetriz Interna, mas nao cheguei a lugar nenhum !
Valeu !
Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos ABD e
CBD são iguais. A medida da corda BD é:
a) 2√3 + 1
b)(9√5)/5
c) 3√2
d) 2 + √5
Gabarito: C)
Ae galera, me ajudem ! Por que a corda BD vale 3√2 ? Tem alguma fórmula ? Porque eu tentei a teoria da Bissetriz Interna, mas nao cheguei a lugar nenhum !
Valeu !
Queiroga- Padawan
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por FernandoPP- Sáb 13 Out 2012, 21:57
O triângulo ABC é retângulo [Triângulo inscrito em um semi-círculo]
Ligue os pontos A a D e D a C.
Veja os ângulos inscritos ACD = 45º e CAD = 45º [Subentende arcos de 90º], com isso o triângulo ADC é retângulo isósceles.
Pitágoras no triângulo ABC → AC² = 16 + 4 → AC = 2√5
Chamando AD = DC = x, temos x² + x² = (2√5)² → x = √10
Aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABCD, temos:
2√5.BD = 2√10 + 4√10 → BD = 3√2
Ligue os pontos A a D e D a C.
Veja os ângulos inscritos ACD = 45º e CAD = 45º [Subentende arcos de 90º], com isso o triângulo ADC é retângulo isósceles.
Pitágoras no triângulo ABC → AC² = 16 + 4 → AC = 2√5
Chamando AD = DC = x, temos x² + x² = (2√5)² → x = √10
Aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABCD, temos:
2√5.BD = 2√10 + 4√10 → BD = 3√2
FernandoPP-- Jedi
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por Queiroga Dom 14 Out 2012, 19:25
Ah ! Eu não conhecia esse teorema, mas agora ja pesquisei e entendi ! Mto obrigado, Fernando !
Queiroga- Padawan
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por ramonss Dom 14 Out 2012, 19:45
Não entendi por quê os ângulos ACD e CAD são de 45º, alguém pode explicar?
ramonss- Fera
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por FernandoPP- Dom 14 Out 2012, 20:17
O ângulo ABC vale 90º e como o problema disse que BD divide esse ângulo em outros dois iguais, ABD = 45º e CBD = 45º.
ABD e CBD são ângulos inscritos e valem a metade do arco que subentendem.
Logo, o arco AD = 2.45 = 90º e o arco CD = 2.45 = 90º
Da mesma forma, os ângulos ACD e CAD são ângulos inscritos.
ACD = (arco AD)/2 = 90º/2 = 45º
CAD = (arco CD)/2 = 90º/2 = 45º
ABD e CBD são ângulos inscritos e valem a metade do arco que subentendem.
Logo, o arco AD = 2.45 = 90º e o arco CD = 2.45 = 90º
Da mesma forma, os ângulos ACD e CAD são ângulos inscritos.
ACD = (arco AD)/2 = 90º/2 = 45º
CAD = (arco CD)/2 = 90º/2 = 45º
FernandoPP-- Jedi
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por ramonss Dom 14 Out 2012, 20:23
Entendi, como um dos ângulos é 45º (por causa da bissetriz), os outros também devem ser por terem vértice na circunferência.
Obrigado!
Obrigado!
ramonss- Fera
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Re: Medida da Corda na Circunferência ?
por castelo_hsi Dom 13 Fev 2022, 00:04
Outro modo:
*EDIT: a semelhança da 2a linha foi feita entre os triângulos ABP e BDC.
*EDIT: a semelhança da 2a linha foi feita entre os triângulos ABP e BDC.
castelo_hsi- Mestre Jedi
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