Geometria Analítica

por Feeep Sáb 15 Set 2012, 15:50

Uma reta de coeficiente angular m<0 passa pelo ponto P=(1,2).
a)Escreva a equação da reta para m=-1
b)Calcule m de modo que a reta forme com os eixos um triângulo de área 4.

Eu achei dois valores para m na alternativa b, -2 e -1/2

por **Giiovanna** Sáb 15 Set 2012, 16:31

Temos três pontos:
P(1,2)
A(0,y)
B(x,0)

Da área, temos que x.y/2 = 4. Logo x.y = 8

Do coeficiente angular: m= deltay/delta x

(2-y)/(1-0) = (2-0)/(1-x)
fazendo as contas...
2= 2-2x-y+xy
x.y= 8, lembra?
0=-2x-y+8
isolando o y
y=-2x + 8
m=-2

Como chegou a -1/2? Pode demonstrar?

por Convidado Sáb 15 Set 2012, 17:25

llimonada escreveu:Como chegou a -1/2? Pode demonstrar?

uma reta com coeficiente angular -1/2 e que passe por P(1,2) determina com os eixos um triângulo de área maior que 4. Não existem dois triângulos.

por **Giiovanna** Sáb 15 Set 2012, 17:32

Lionel P. escreveu:
llimonada escreveu:Como chegou a -1/2? Pode demonstrar?

uma reta com coeficiente angular -1/2 e que passe por P(1,2) determina com os eixos um triângulo de área maior que 4. Não existem dois triângulos.

então creio que o coeficiente é -2 mesmo. Mesmo por semelhança de triangulos (traçando uma reta do ponto 1 do x até a altura 2 da y) eu somente cheguei em -2

por **Elcioschin** Sáb 15 Set 2012, 17:44

A solução é m = - 2 mesmo:

Reta ----> y - 2 = m*(x - 1) ----> y = mx - (m - 2)

Para x = 0 ----> y = - (m - 2)
Para y = 0 ----> x = (m - 2)/m

S = x*y/2 ----> 2*S = x*y ----> 2*4 = - (m - 2)*[(m - 2)/m]/2 ----> 8m = - m² + 4m - 4 ----> m² + 4m + 4 = 0 ----> (m + 2)² = 0 ----> m = - 2

por **Giiovanna** Sáb 15 Set 2012, 17:56

Elcioschin escreveu:A solução é m = - 2 mesmo:

Reta ----> y - 2 = m*(x - 1) ----> y = mx - (m - 2)

Para x = 0 ----> y = - (m - 2)
Para y = 0 ----> x = (m - 2)/m

S = x*y/2 ----> 2*S = x*y ----> 2*4 = - (m - 2)*[(m - 2)/m]/2 ----> 8m = - m² + 4m - 4 ----> m² + 4m + 4 = 0 ----> (m + 2)² = 0 ----> m = - 2

Muito bom

Gosto de saber maneiras diferentes de resolver

por **Iago6** Sáb 15 Set 2012, 20:04

Outra forma:

a)Escreva a equação da reta para m=-1

y - yo=m(x -xo)
y - 2=-1(x - 1)
y= -x +3

b)Calcule m de modo que a reta forme com os eixos um triângulo de área 4.

$\\ \begin{bmatrix} 0&0\\ 1&2 \\ x&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}= \frac{\Delta }{2}= 2 \rightarrow x=2, \;\; \textrm{ Para y :} \begin{bmatrix} 0&0\\ 1&2 \\ 0&y \\ 0&0 \end{bmatrix}= \frac{\Delta }{2} = 2 \rightarrow y=4 \\\\\\\ {\color{white} ,} \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \boxed {\mathrm{ m = \frac{4-0}{0-2}={\color{Red} -2}}}$

$\\ \mathrm{y - y_o=m(x-x_o)} \\\\ \mathrm{y - 0=(-2)(x-2)} \\\\ \boxed {\mathbf{y = {\color{Red} -2x +4}}}$

Graficamente fica:

Geometria Analítica Graft

por **Iago6** Sáb 15 Set 2012, 20:10

llimonada

Você acertou o valor de m (coeficiente angular), mas errou no valor de y (apesar do enunciado não ter pedido). Mas se fosse para calcular a área de acordo com as coordenadas de x e y da função y = -2x + 8, daria 16 u.a, e ainda não passaria pelo ponto P(1,2). A sua resposta conicidiu com o gabarito porque as retas y = -2x + 8 e y = -2x + 4, são paralelas (tem o mesmo coeficiente angular).

Abraços, espero ter ajudado . :drunken:

por **Giiovanna** Sáb 15 Set 2012, 20:56

tem razão, sabe me dizer o que está errado, Iago?

Além disso, não entendi a sua resolução. Nunca aprendi nada parecido, o que você fez para achar os pontos antes do coeficiente? Vi que você colocou numa espécie de 'matriz' alguns valores e achou milagrosamente o x Razz

.

Se puder me explicar detalhadamente, agradeço Very Happy

por **Iago6** Sáb 15 Set 2012, 21:29

Você errou porque não considerou o 4 ponto (faltou a origem O (0,0)).
Ou seja, ao traçarmos uma reta passando pelos pontos P(1,2), A(0,y), B(x,0), faltariam um 4 para poder formar um triângulo.

E o que eu fiz foi calcular a área do triângulo atráves dá fórmula : A = |∆| /2.

Perceba que a partir de P (1,2) a área AOP = BOP = 2 (a metade), sabendo disso foi possível encontrar as coordenadas de A(0,y), B(x,0), através da fórmula A = |∆| /2.

Qualquer dúvida pode perguntar.